Voici l’analyse des trois fonctions que vous avez mentionnées :

1. Fonction f(x) = $\frac{(x+2)(x-3)}{x^2-x-12}$

   • Domaine : Le dénominateur $x^2 - x - 12$ se factorise en $(x - 4)(x + 3)$. Ainsi, la fonction est indéfinie pour $x = -3$ et $x = 4$. Le domaine est donc $\mathbb{R} \setminus \{-3, 4\}$.
   • Zéros : Les zéros de la fonction sont obtenus en résolvant $(x + 2)(x - 3) = 0$, c'est-à-dire $x = -2$ et $x = 3$.
   • Intervalles de continuité : La fonction est continue sur les intervalles où le dénominateur est non nul. Ainsi, elle est continue sur les intervalles $]-\infty, -3[$, $]-3, 4[$, et $]4, +\infty[$.

2. Fonction g(x) = $\frac{\sqrt{x - 1}}{x - 3}$

   • Domaine :
     • Le numérateur $\sqrt{x - 1}$ impose que $x \geq 1$ (car l'expression sous la racine carrée doit être positive ou nulle).
     • Le dénominateur $x - 3$ impose que $x \neq 3$.
     • Le domaine est donc $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ avec $x \geq 1$, soit $[1, 3[ \cup ]3, +\infty[$.
   • Zéros : La fonction est nulle quand $\sqrt{x - 1} = 0$, c’est-à-dire $x = 1$.
   • Intervalles de continuité : La fonction est continue sur $[1, 3[ \cup ]3, +\infty[$, car le dénominateur $x - 3$ ne doit pas être nul et le numérateur $\sqrt{x - 1}$ est défini pour $x \geq 1$.

3. Fonction h(x) = $x^4 + 2x^3 + x^2$

   • Domaine : Cette fonction est un polynôme, et les polynômes sont définis sur l'ensemble des réels $\mathbb{R}$.
   • Zéros : Pour trouver les zéros de la fonction, on résout $x^4 + 2x^3 + x^2 = 0$. On factorise par $x^2$ : $x^2(x^2 + 2x + 1) = 0$. Le polynôme $x^2 + 2x + 1$ se factorise en $(x + 1)^2$. Les solutions sont donc $x = 0$ et $x = -1$.
   • Intervalles de continuité : Comme il s'agit d'un polynôme, la fonction est continue sur $\mathbb{R}$.

Résumé :

1. f(x) : Domaine $\mathbb{R} \setminus \{-3, 4\}$, Zéros en $x = -2$ et $x = 3$, continuité sur $]-\infty, -3[$, $]-3, 4[$, et $]4, +\infty[$.
2. g(x) : Domaine $[1, 3[ \cup ]3, +\infty[$, Zéro en $x = 1$, continuité sur $[1, 3[ \cup ]3, +\infty[$.
3. h(x) : Domaine $\mathbb{R}$, Zéros en $x = 0$ et $x = -1$, continue sur $\mathbb{R}$.

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Voulez-vous plus de détails ou avez-vous des questions sur ces fonctions ?

Voici quelques questions connexes :

1. Comment résoudre les équations du second degré comme celle du dénominateur de la fonction $f(x)$ ?
2. Pourquoi les racines doivent-elles être définies pour une fonction avec une racine carrée ?
3. Qu'est-ce que la continuité d'une fonction et pourquoi certains points doivent-ils être exclus du domaine ?
4. Comment trouver les zéros d'un polynôme du 4e degré ?
5. Quelles sont les conditions nécessaires pour qu'une fonction soit continue sur un intervalle donné ?

Tip : Toujours vérifier si une fonction a des valeurs interdites dans le dénominateur ou sous une racine carrée pour déterminer son domaine.