3 La funzione denita da f(x) = 5x
3 − 6x − 2
A ammette minimo relativo nel punto p
2/5

B non ammette estremanti
C ammette massimo relativo nei punti ±
p
2/5
D ammette minimo relativo nel punto −
p
2/5
E ammette massimo relativo nel punto p
2/5

Per risolvere il problema, dobbiamo analizzare la funzione \( f(x) = 5x^3 - 6x - 2 \) e determinare il comportamento dei suoi estremi relativi.

### Passo 1: Derivata prima
Per trovare i punti critici, calcoliamo la derivata prima \( f'(x) \) della funzione.

\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(5x^3 - 6x - 2)
\]

\[
f'(x) = 15x^2 - 6
\]

### Passo 2: Trovare i punti critici
I punti critici si ottengono risolvendo l'equazione \( f'(x) = 0 \):

\[
15x^2 - 6 = 0
\]

\[
15x^2 = 6
\]

\[
x^2 = \frac{6}{15} = \frac{2}{5}
\]

\[
x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}}
\]

Quindi, i punti critici sono \( x = \sqrt{\frac{2}{5}} \) e \( x = -\sqrt{\frac{2}{5}} \).

### Passo 3: Derivata seconda
Per determinare se i punti critici corrispondono a un massimo, un minimo o un punto di flesso, calcoliamo la derivata seconda \( f''(x) \):

\[
f''(x) = \frac{d}{dx}(15x^2 - 6)
\]

\[
f''(x) = 30x
\]

### Passo 4: Analisi della derivata seconda nei punti critici
Ora valutiamo \( f''(x) \) nei punti critici \( x = \pm \sqrt{\frac{2}{5}} \):

- Per \( x = \sqrt{\frac{2}{5}} \), \( f''\left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right) = 30\sqrt{\frac{2}{5}} > 0 \), quindi c'è un **minimo relativo** in \( x = \sqrt{\frac{2}{5}} \).
  
- Per \( x = -\sqrt{\frac{2}{5}} \), \( f''\left(-\sqrt{\frac{2}{5}}\right) = -30\sqrt{\frac{2}{5}} < 0 \), quindi c'è un **massimo relativo** in \( x = -\sqrt{\frac{2}{5}} \).

### Conclusione
La risposta corretta è:

**D: La funzione ammette un minimo relativo nel punto \( x = -\sqrt{\frac{2}{5}} \).**

---

Vuoi ulteriori dettagli o hai qualche domanda?  
Ecco alcune domande che potresti considerare:

1. Cosa succede alla funzione \( f(x) \) per valori molto grandi di \( x \)?
2. Come si comporta la funzione \( f(x) \) vicino all'origine?
3. Che tipo di grafico rappresenta \( f(x) \) considerando i punti critici trovati?
4. Come si calcola il punto esatto del minimo o massimo relativo?
5. Cosa succede se cambiamo i coefficienti nella funzione \( f(x) \)?

**Tip:** Quando trovi i punti critici di una funzione, la derivata seconda è essenziale per determinare se si tratta di un massimo, un minimo o un punto di flesso.

Explore the analysis of extrema for the function f(x) = 5x^3 - 6x - 2. Understand how to find critical points, determine relative extrema using the second derivative test, and interpret the results. Suitable for advanced high school and college students.

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