Alejandra, Luis y Diana colocan en dos urnas 10 pelotas numeradas del 1 al 10, y juegan de la siguiente forma: se saca al azar una pelota de cada urna y se suman sus números. Si el resultado es un número par menor que 10, gana Alejandra, si es un número impar menor que 10, gana Luis y si la suma es mayor que 10 gana Diana. ¿El juego es justo?.

Para determinar si el juego es justo, es necesario analizar las probabilidades de ganar de cada uno de los participantes: Alejandra, Luis y Diana. Vamos a analizar el problema paso a paso.

### Análisis del juego

1. **Pelotas y urnas**: Hay 10 pelotas numeradas del 1 al 10, y se coloca una pelota en cada urna. Se saca una pelota de cada urna, se suman los números de ambas pelotas, y según la suma se determina el ganador.

2. **Condiciones de victoria**:
   - Alejandra gana si la suma es un número par menor que 10.
   - Luis gana si la suma es un número impar menor que 10.
   - Diana gana si la suma es mayor que 10.

### Posibles sumas

Los números de las pelotas van del 1 al 10, por lo que las posibles sumas de dos pelotas son:

- **Mínima suma**: \( 1 + 1 = 2 \)
- **Máxima suma**: \( 10 + 10 = 20 \)

Entonces, las posibles sumas van de 2 a 20.

### Clasificación de las sumas

- **Números pares menores que 10**: \( 2, 4, 6, 8 \)
- **Números impares menores que 10**: \( 3, 5, 7, 9 \)
- **Números mayores que 10**: \( 11, 12, 13, \dots, 20 \)

### Contando los casos favorables

Cada combinación de sumas depende de las dos urnas. Existen \( 10 \times 10 = 100 \) posibles combinaciones de pares \((i, j)\) donde \(i\) es el número de la pelota de la primera urna y \(j\) es el número de la pelota de la segunda urna.

Vamos a contar cuántas sumas caen en cada categoría.

- **Sumas pares menores que 10**: \( 2, 4, 6, 8 \)
  - 2: \((1, 1)\)
  - 4: \((1, 3), (2, 2), (3, 1)\)
  - 6: \((1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)\)
  - 8: \((1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1)\)
  - **Total**: \(1 + 3 + 5 + 7 = 16\) combinaciones

- **Sumas impares menores que 10**: \( 3, 5, 7, 9 \)
  - 3: \((1, 2), (2, 1)\)
  - 5: \((1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)\)
  - 7: \((1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)\)
  - 9: \((1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (7, 2), (8, 1)\)
  - **Total**: \(2 + 4 + 6 + 8 = 20\) combinaciones

- **Sumas mayores que 10**: \( 11, 12, 13, \dots, 20 \)
  - **Total**: Como las sumas mayores que 10 van desde \(11\) hasta \(20\), restamos el número de combinaciones de sumas menores o iguales a \(10\) de \(100\).
  - Sumas menores o iguales a 10: \(2 + 16 + 20 + 16 + 20 = 74\)
  - Sumas mayores que 10: \(100 - 36 = 64\) combinaciones

### Cálculo de probabilidades

Ahora calculamos las probabilidades de ganar para cada jugador:

- **Probabilidad de que gane Alejandra** (pares menores que 10): \(\frac{16}{100} = 16\%\)
- **Probabilidad de que gane Luis** (impares menores que 10): \(\frac{20}{100} = 20\%\)
- **Probabilidad de que gane Diana** (sumas mayores que 10): \(\frac{64}{100} = 64\%\)

### Conclusión

El juego **no es justo**, ya que Diana tiene una probabilidad mucho mayor de ganar (64%) en comparación con Alejandra (16%) y Luis (20%).

¿Te gustaría detalles adicionales o alguna otra explicación?

Aquí tienes algunas preguntas relacionadas:

1. ¿Cómo se podría modificar el juego para hacerlo más justo?
2. ¿Qué probabilidades se obtendrían si se cambia la condición de victoria de Diana?
3. ¿Cómo afecta la cantidad de pelotas al resultado del juego?
4. ¿Podrías analizar un juego similar con diferentes reglas?
5. ¿Qué ocurre si se usan pelotas con números diferentes?

**Tip:** En juegos de azar, analizar la cantidad de resultados posibles para cada condición es clave para determinar si el juego es justo.

Explore the fairness of a game involving Alejandra, Luis, and Diana with 10 numbered balls in two urns. Analyze the probabilities and outcomes based on different conditions of victory. Includes detailed calculations and conclusions about the fairness of the game.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation