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The image contains a series of mathematical exercises from a worksheet. Below is the transcription of the exercises:

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### **Exercice 1**  
1. Montrer que pour que le produit de deux nombres soit nul il faut et il suffit que au moins l’un des deux soit nul.  
2. Montrer que pour tout nombre réel \( a \) et \( b \), on a \( (a + b)^2 = a^2 + b^2 \) si et seulement si \( a = 0 \) ou \( b = 0 \).

### **Exercice 2**  
Montrer que si \( n^2 \) est un nombre entier impair alors \( n \) est un nombre entier impair.

### **Exercice 3**  
Montrer que pour tout nombre réel \( a, b, c \), on a \( (a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2ac + 2bc \).

### **Exercice 4**  
Démontrer que pour \( x \) et \( y \) nombres réels, on a \( 1 + xy \geq x + y \) si et seulement si \( x \) et \( y \) sont tous deux à la fois supérieurs ou égaux à 1 ou inférieurs ou égaux à 1.

### **Exercice 5**  
Montrer que l'assertion: « tout entier positif est somme de trois carrés » est fausse.

### **Exercice 6**  
1. Un entier naturel est pair s'il est multiple de 2 et impair sinon.  
2. Montrer que tout entier naturel est pair ou bien impair.  
3. Montrer que pour tout entier naturel \( n \), le nombre \( \frac{n(n+1)}{2} \) est un entier.

### **Exercice 7**  
1. Montrer que tout entier impair s'écrit sous la forme \( 4m + r \) où \( m \) et \( r \) sont des entiers avec \( r = -1 \) ou \( r = 1 \).  
2. Soit \( n \) un entier, montrer que si 8 ne divise pas \( n^2 - 1 \), alors \( n \) est pair.

### **Exercice 8**  
Un nombre premier est un entier naturel \( p \geq 2 \) qui admet seulement deux diviseurs entiers positifs distincts. Démontrer que pour tout nombre premier \( p \geq 5 \), il existe un entier \( m \) tel que \( p^2 = 24m + 1 \).

### **Exercice 9**  
Montrer que pour tout entier naturel \( n \geq 0 \), l'inverse du nombre \( \sqrt{n + 1} + \sqrt{n} \) est \( \sqrt{n + 1} - \sqrt{n} \).

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Would you like help solving any of these exercises, or would you prefer an explanation for one of the concepts? 

Here are five related questions based on this material:
1. How can you prove that the square of an odd number is always odd?
2. Why does the equality \( (a+b)^2 = a^2 + b^2 \) imply that either \( a \) or \( b \) must be zero?
3. What is the general form of the factorization for a sum of squares involving three terms, like \( (a + b + c)^2 \)?
4. How do we determine if a prime number greater than 5 can be expressed in the form \( 24m + 1 \)?
5. What are the different ways to express an odd number in modular arithmetic?

**Tip:** For quadratic identities, recognizing how to expand expressions like \( (a + b)^2 \) helps in solving many algebraic equations efficiently.

The image contains a series of mathematical exercises, including algebraic proofs, properties of numbers (even, odd, prime), and identities such as quadratic expansions.

This worksheet covers a variety of advanced algebraic problems including proving quadratic expansions, exploring properties of even and odd numbers, prime number theorems, and modular arithmetic. Ideal for high school and undergraduate students studying number theory and algebra.

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