문제를 해석해 드리겠습니다.

해석: 문제는 3차원 직교정규 기저(orthonormal basis)를 구하는 것입니다. 각각의 벡터에 대한 설명은 다음과 같습니다:

1. 첫 번째 기저 벡터는 $(3, 4, 0)$ 방향입니다. 즉, 첫 번째 벡터는 $(x, y, z)$ 좌표계에서 $(3, 4, 0)$으로 주어졌습니다.
2. 두 번째 기저 벡터는 "하나의 주축을 향한다"고 되어 있습니다. 주축이라는 것은 $x$, $y$, $z$ 축 중 하나를 의미합니다. 정확히 어떤 축인지는 문제에 구체적으로 명시되어 있지 않지만, 일반적으로 직교정규 기저를 만들기 위해서는 첫 번째 벡터와 서로 직교(수직)해야 합니다.
3. 세 번째 기저 벡터는 "그 둘의 벡터곱으로 정의된다"고 되어 있습니다. 즉, 첫 번째와 두 번째 벡터의 외적(벡터곱)을 통해 구할 수 있습니다. 벡터곱은 두 벡터에 수직인 벡터를 생성하므로, 이 벡터는 자연스럽게 세 번째 직교 벡터가 됩니다.

기저 벡터 계산:

1. 첫 번째 벡터: $\mathbf{v_1} = (3, 4, 0)$

   이를 단위 벡터로 만들기 위해서는 크기로 나눠줘야 합니다: $\|\mathbf{v_1}\| = \sqrt{3^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{9 + 16} = 5$ $\hat{\mathbf{v_1}} = \frac{1}{5}(3, 4, 0) = (0.6, 0.8, 0)$

2. 두 번째 벡터: 두 번째 벡터는 $\hat{\mathbf{v_1}}$과 수직이고, 보통 $(x, y, z)$의 주축 중 하나를 선택하여 수직성을 만족하도록 고릅니다. 가장 간단하게 선택할 수 있는 것은 $z$-축 방향 벡터인 $(0, 0, 1)$입니다. $\hat{\mathbf{v_2}} = (0, 0, 1)$

3. 세 번째 벡터: 세 번째 벡터는 두 벡터의 외적을 사용해 계산합니다: $\mathbf{v_3} = \hat{\mathbf{v_1}} \times \hat{\mathbf{v_2}}$ 계산하면:

   = (0.8\mathbf{i} - 0.6\mathbf{j} + 0\mathbf{k}) = (0.8, -0.6, 0)$$ 이를 단위 벡터로 변환: $$\|\mathbf{v_3}\| = \sqrt{0.8^2 + (-0.6)^2 + 0^2} = \sqrt{0.64 + 0.36} = 1$$ 따라서 이미 단위 벡터입니다: $$\hat{\mathbf{v_3}} = (0.8, -0.6, 0)$$

결론: 직교정규 기저는 다음과 같습니다: $\{(0.6, 0.8, 0), (0, 0, 1), (0.8, -0.6, 0)\}$

궁금한 점이 있거나 자세한 설명이 필요하면 알려주세요!

추가 질문:

1. 벡터 외적 계산 방법을 자세히 알고 싶으신가요?
2. 직교정규 기저가 무엇인지 더 알고 싶으신가요?
3. 단위 벡터로 변환하는 과정이 이해되지 않나요?
4. 외적의 성질이나 물리적 의미를 알고 싶으신가요?
5. 다른 예제를 통해 더 연습해보고 싶으신가요?

Tip: 직교정규 기저는 모든 벡터가 서로 직교하며 크기가 1인 벡터들로 이루어져 있습니다. 이 기저를 사용하면 벡터 연산이 더 단순해지고 직관적이 됩니다.