Ako je amplituda odmerka govornog signala 4.9 mV, odrediti njegovu 12-bitnu repezentaciju, ako je amplitudski opseg vrednosti kvantizera za
obradu signala [-12 mV, 12 mV]. Dobijenu 12-bitnu reč digitalno komprimovati, a zatim je ponovo ekspandovati.Kolika je bitska greška u datom 
postupku? Kolika je relativna greška u procesu rekonstrukcije aplitudske vrednosti mereno u procentima.
Vreme izrade kolokvijuma je 60 minuta maksimalno.


Za ovaj zadatak, moramo pratiti nekoliko koraka da bismo dobili konačne odgovore. Razložićemo problem na manje celine:

### Korak 1: Kvantizacija i 12-bitna reprezentacija
Imamo amplitudu govornog signala od 4.9 mV, a opseg kvantizera za obradu signala je \([-12\ \text{mV}, 12\ \text{mV}]\). Prvo ćemo izračunati koliki je korak kvantizacije.

Kvantizator sa 12-bitnom rezolucijom može predstaviti \(2^{12} = 4096\) različitih vrednosti. Dakle, imamo 4096 različitih nivoa kvantizacije za opseg od 24 mV (od \(-12\ \text{mV}\) do \(12\ \text{mV}\)).

Korak kvantizacije (\(q\)) je:

\[
q = \frac{12 - (-12)}{4096} = \frac{24}{4096} = 0.00586\ \text{mV po nivou}
\]

Da bismo dobili indeks (kvantizovanu vrednost) odgovarajuću za amplitudu signala od 4.9 mV, koristimo formulu:

\[
\text{Indeks} = \frac{\text{Amplituda} - \text{Minimalna vrednost opsega}}{q} = \frac{4.9 - (-12)}{0.00586} = \frac{16.9}{0.00586} \approx 2883
\]

Indeks 2883 ćemo konvertovati u binarni oblik da bismo dobili 12-bitnu reprezentaciju:

\[
2883_{10} = 101101000011_2
\]

Dakle, 12-bitna reprezentacija amplitude signala od 4.9 mV je \(101101000011_2\).

### Korak 2: Digitalna kompresija i ekspanzija
Pretpostavićemo da se koristi neka metoda kompresije, na primer **logaritamska kompresija**. Ova kompresija obično funkcioniše tako što se koristi logaritamska funkcija za smanjenje dinamičkog opsega signala.

Kompresija se može predstaviti funkcijom:

\[
x_{c} = \log(1 + kx)
\]

gde je \(x\) originalna amplituda, \(x_c\) kompresovana amplituda, a \(k\) konstanta koja zavisi od specifične tehnike kompresije. Nakon toga, vrši se obrnuta operacija za ekspanziju.

Bez eksplicitnih detalja o konkretnoj kompresiji/ekspanziji, pretpostavićemo da se koristi idealni proces bez gubitaka. U tom slučaju, pri ekspanziji ćemo dobiti nazad gotovo istu vrednost kvantizovanog signala.

### Korak 3: Bitska greška
Bitska greška se odnosi na razliku između originalnog digitalnog signala i signala nakon kompresije i ekspanzije. Ako nema promene u binernoj reprezentaciji tokom kompresije i ekspanzije, bitska greška je \(0\).

Međutim, ako postoji gubitak informacije tokom ovog procesa, bitska greška se meri kao broj bitova koji su promenjeni. U našem slučaju, jer nema dovoljno podataka o preciznosti kompresije, možemo reći da je bitska greška **minimalna ili 0** ako je postupak kompresije/ekspanzije idealan.

### Korak 4: Relativna greška
Relativna greška se računa kao odnos između greške kvantizacije i stvarne vrednosti amplitude signala:

\[
\text{Relativna greška} = \frac{\text{Greška}}{\text{Stvarna vrednost}} \times 100\%
\]

Greška kvantizacije je polovina koraka kvantizacije, jer se pretpostavlja da je greška simetrična i maksimalno jednaka polovini koraka kvantizacije:

\[
\text{Greška kvantizacije} = \frac{q}{2} = \frac{0.00586}{2} = 0.00293\ \text{mV}
\]

Relativna greška u procentima je:

\[
\text{Relativna greška} = \frac{0.00293}{4.9} \times 100\% \approx 0.0598\%
\]

### Zaključak:
1. 12-bitna binarna reprezentacija amplitudnog signala od 4.9 mV je \(101101000011_2\).
2. Ako je proces kompresije i ekspanzije idealan, bitska greška je \(0\).
3. Relativna greška u procesu rekonstrukcije amplitude je približno \(0.0598\%\).

Da li želite dodatne informacije ili imate još pitanja?

**Pitanja za proširenje:**
1. Šta je uloga kvantizacije u digitalnoj obradi signala?
2. Kako tačno funkcioniše logaritamska kompresija u govornim signalima?
3. Kako se može smanjiti relativna greška u kvantizaciji?
4. Koje su prednosti i nedostaci kvantizacije sa više bita?
5. Kako se definiše i izračunava SNR (Signal-to-Noise Ratio) nakon kvantizacije?

**Tip**: Da biste smanjili relativnu grešku u procesu kvantizacije, možete povećati rezoluciju kvantizatora, tj. broj bitova.

Ako je amplituda odmerka govornog signala 4.9 mV, odrediti njegovu 12-bitnu reprezentaciju, ako je amplitudski opseg vrednosti kvantizera za obradu signala [-12 mV, 12 mV]. Dobijenu 12-bitnu reč digitalno komprimovati, a zatim je ponovo ekspandovati. Kolika je bitska greška u datom postupku? Kolika je relativna greška u procesu rekonstrukcije aplitudske vrednosti mereno u procentima.

This problem involves calculating the 12-bit binary representation of a 4.9 mV signal, applying digital compression and expansion, and determining the bit error and relative error. Key topics include quantization, binary representation, and error analysis in digital signal processing. Suitable for undergraduate students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation