اعد الحل باللغة العربية 

لحل التكامل 

\[
\int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy
\]

سنستخدم طريقة التعويض. لنفترض 

\[
u = y + 2
\]

وبالتالي 

\[
du = dy
\]

وبما أن 

\[
y = u - 2,
\]

يمكننا إعادة كتابة التكامل بدلالة \( u \):

\[
\int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy = \int (u - 2)^2 u^{\frac{1}{4}} \, du.
\]

الآن، نوسع \( (u - 2)^2 \):

\[
(u - 2)^2 = u^2 - 4u + 4.
\]

نعيد كتابة التكامل مرة أخرى باستخدام هذا التوسع:

\[
\int (u^2 - 4u + 4) u^{\frac{1}{4}} \, du.
\]

نوزع \( u^{\frac{1}{4}} \):

\[
\int u^2 \cdot u^{\frac{1}{4}} - 4u \cdot u^{\frac{1}{4}} + 4 \cdot u^{\frac{1}{4}} \, du.
\]

هذا يبسط إلى:

\[
\int u^{2 + \frac{1}{4}} - 4u^{1 + \frac{1}{4}} + 4u^{\frac{1}{4}} \, du = \int u^{\frac{9}{4}} - 4u^{\frac{5}{4}} + 4u^{\frac{1}{4}} \, du.
\]

نقوم بتكامل كل حد على حدة:

\[
\int u^{\frac{9}{4}} \, du = \frac{u^{\frac{9}{4} + 1}}{\frac{9}{4} + 1} = \frac{u^{\frac{13}{4}}}{\frac{13}{4}} = \frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}},
\]

\[
\int -4u^{\frac{5}{4}} \, du = -4 \cdot \frac{u^{\frac{5}{4} + 1}}{\frac{5}{4} + 1} = -4 \cdot \frac{u^{\frac{9}{4}}}{\frac{9}{4}} = -\frac{16}{9} u^{\frac{9}{4}},
\]

\[
\int 4u^{\frac{1}{4}} \, du = 4 \cdot \frac{u^{\frac{1}{4} + 1}}{\frac{1}{4} + 1} = 4 \cdot \frac{u^{\frac{5}{4}}}{\frac{5}{4}} = \frac{16}{5} u^{\frac{5}{4}}.
\]

بدمج هذه النتائج، نحصل على:

\[
\int y^2 (y + 2)^{\frac{1}{4}} \, dy = \frac{4}{13} u^{\frac{13}{4}} - \frac{16}{9} u^{\frac{9}{4}} + \frac{16}{5} u^{\frac{5}{4}} + C.
\]

أخيراً، نعيد التعويض ب \( u = y + 2 \):

\[
\frac{4}{13} (y + 2)^{\frac{13}{4}} - \frac{16}{9} (y + 2)^{\frac{9}{4}} + \frac{16}{5} (y + 2)^{\frac{5}{4}} + C.
\]

هذه هي الحل للتكامل. هل لديك أي أسئلة أو ترغب في المزيد من التفاصيل؟

إليك 5 أسئلة قد ترغب في طرحها:
1. هل يمكنك شرح طريقة التعويض في التكاملات؟
2. كيف تختار التعويض \( u = y + 2 \) في هذا التكامل؟
3. ما هي الخطوات لتبسيط التكامل بعد التعويض؟
4. كيف تقوم بتكامل كل حد على حدة في التكامل الموسع؟
5. هل يمكنك عرض مثال آخر لاستخدام التعويض في التكاملات؟

**نصيحة:** عند استخدام التعويض في التكاملات، تذكر دائماً تغيير المتغير والتفاضل لتتناسب مع التعويض.

تعلم كيفية حل التكامل بالتعويض بطريقة مفصلة خطوة بخطوة. يتضمن هذا السؤال مفاهيم رئيسية للتكامل وطريقة التعويض. مناسب للطلاب على مستوى الجامعة.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation