Ας προσεγγίσουμε τον μετασχηματισμό $\mathcal{Z}$ για τα παρακάτω διακριτά σήματα με απλό και κατανοητό τρόπο:

---

α) $x_a[n] = a^{|n|}, \quad 0 < |a| < 1$

Υπολογισμός του Μετασχηματισμού Z:

• Το σήμα έχει δύο μέρη: $n \geq 0$ και $n < 0$.

• Για $n \geq 0$: $\mathcal{Z}\{x_a[n]\} = \sum_{n=0}^\infty a^n z^{-n} = \sum_{n=0}^\infty (az^{-1})^n$ Αυτή η σειρά συγκλίνει όταν $|az^{-1}| < 1$, δηλαδή $|z| > |a|$. $\text{Σύμφωνα με τον τύπο γεωμετρικής σειράς:} \quad \sum_{n=0}^\infty r^n = \frac{1}{1 - r}, \quad \text{όταν } |r| < 1,$ έχουμε: $\mathcal{Z}\{x_a[n]\} = \frac{1}{1 - az^{-1}} = \frac{z}{z - a}, \quad \text{για } |z| > |a|.$

• Για $n < 0$: $\mathcal{Z}\{x_a[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{-1} a^{|n|} z^{-n} = \sum_{m=1}^\infty a^m z^m, \quad \text{(θέτοντας } m = -n \text{)}.$ Αυτή η σειρά συγκλίνει όταν $|az| < 1$, δηλαδή $|z| < \frac{1}{|a|}$. $\mathcal{Z}\{x_a[n]\} = \frac{az}{1 - az}, \quad \text{για } |z| < \frac{1}{|a|}.$

• Συνδυαστικά: $X_a(z) = \frac{z}{z - a}, \quad |z| > |a| \quad \text{και} \quad \frac{az}{1 - az}, \quad |z| < \frac{1}{|a|}.$

Περιοχή Σύγκλισης (ROC): $\text{ROC: } |a| < |z| < \frac{1}{|a|}.$

Διάγραμμα Πόλων και Μηδενικών:

• Πόλος: $z = a$,
• Μηδενικό: $z = 0$.

---

β) ( s_N[n] = \begin{cases}

1, & 0 \leq n \leq N-1 \ 0, & \text{αλλιώς} \end{cases} )

Υπολογισμός του Μετασχηματισμού Z:

• Το σήμα είναι μη μηδενικό μόνο για $n = 0$ έως $n = N-1$: $\mathcal{Z}\{s_N[n]\} = \sum_{n=0}^{N-1} z^{-n}.$ Πρόκειται για πεπερασμένη γεωμετρική σειρά: $\mathcal{Z}\{s_N[n]\} = \frac{1 - z^{-N}}{1 - z^{-1}}, \quad z \neq 1.$

Περιοχή Σύγκλισης (ROC): $\text{ROC: } \text{Όλο το επίπεδο εκτός } z = 0 \text{ (καθώς το σήμα είναι πεπερασμένο).}$

Διάγραμμα Πόλων και Μηδενικών:

• Μηδενικό: $z = e^{j2\pi k/N}$, $k = 1, 2, \dots, N-1$ (ρίζες της μονάδας).
• Πόλος: $z = 1$.

---

γ) ( \sigma_N[n] = \begin{cases}

2N - n, & N + 1 \leq n \leq 2N \ n, & 0 \leq n \leq N \ 0, & \text{αλλιώς} \end{cases} )

Υπολογισμός του Μετασχηματισμού Z: Το σήμα αποτελείται από δύο κομμάτια:

1. Για $0 \leq n \leq N$: $x[n] = n$: $\mathcal{Z}_1 = \sum_{n=0}^N n z^{-n}.$ Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση που μπορεί να υπολογιστεί με τύπους αθροισμάτων.

2. Για $N+1 \leq n \leq 2N$: $x[n] = 2N - n$: $\mathcal{Z}_2 = \sum_{n=N+1}^{2N} (2N - n) z^{-n}.$

Το συνολικό $\mathcal{Z}\{x[n]\}$ θα είναι το άθροισμα των δύο παραπάνω εκφράσεων.

Περιοχή Σύγκλισης (ROC): $\text{ROC: Εξαρτάται από τα σημεία μηδενισμού και τις περιοχές συγκλίσεων των επί μέρους αθροισμάτων.}$

Διάγραμμα Πόλων και Μηδενικών:

• Οι πόλοι και τα μηδενικά εξαρτώνται από τις εκφράσεις για τα κομμάτια του σήματος.

---

Αν χρειάζεστε αναλυτικό σχεδιάγραμμα ή περαιτέρω επεξηγήσεις για το γ), παρακαλώ ενημερώστε με!

---

Σχετικές Ερωτήσεις:

1. Πώς βρίσκουμε το ROC ενός μετασχηματισμού Z γενικά;
2. Ποια είναι η σημασία των πόλων και των μηδενικών στο διάγραμμα;
3. Τι συμβαίνει όταν το $a$ είναι μιγαδικός αριθμός στην περίπτωση (α);
4. Πώς συνδέεται ο μετασχηματισμός Z με το φάσμα ενός διακριτού σήματος;
5. Υπάρχουν εφαρμογές για τέτοια σήματα στην επεξεργασία σήματος;

Ένα tip:

Όταν εργάζεστε με γεωμετρικές σειρές, πάντα να επαληθεύετε την περιοχή σύγκλισης (ROC) πριν εφαρμόσετε τον τύπο.