Para calcular o volume do sólido cuja base é delimitada pela curva $y = x^3$ e o eixo $x$, de $x = 0$ até $x = 1$, e cujas seções transversais perpendiculares ao eixo $x$ são quadrados, seguimos os seguintes passos:

Passo 1: Entendendo a região da base

A base do sólido está no plano $xy$, e é a região entre a curva $y = x^3$ e o eixo $x$ no intervalo de $x = 0$ até $x = 1$. Isso significa que, para cada valor de $x$ nesse intervalo, o valor de $y$ varia de $y = 0$ até $y = x^3$. Portanto, a base é dada pela função $y = x^3$.

Passo 2: Seções transversais

As seções transversais do sólido são quadrados, e a altura de cada quadrado em $x$ é dada pelo valor de $y$ na curva, ou seja, o lado do quadrado é igual a $y = x^3$.

Passo 3: Área da seção transversal

A área da seção transversal em cada ponto $x$ é a área do quadrado, que é dada por:

$A(x) = \text{lado}^2 = (x^3)^2 = x^6$

Passo 4: Volume do sólido

O volume do sólido pode ser encontrado integrando a área da seção transversal $A(x)$ ao longo do intervalo de $x$ de 0 a 1. O volume $V$ é dado pela integral da área das seções transversais:

$V = \int_0^1 A(x) \, dx = \int_0^1 x^6 \, dx$

Passo 5: Resolva a integral

Agora, vamos resolver a integral:

$\int_0^1 x^6 \, dx = \left[ \frac{x^7}{7} \right]_0^1$

Substituindo os limites de integração:

$V = \frac{1^7}{7} - \frac{0^7}{7} = \frac{1}{7}$

Resultado final

O volume do sólido é $\frac{1}{7}$ unidades cúbicas.

---

Quer detalhes sobre algum dos passos ou tem mais alguma dúvida?

Aqui estão 5 perguntas relacionadas para expandir seu entendimento:

1. Como a escolha das seções transversais pode alterar o cálculo do volume?
2. O que aconteceria se as seções transversais fossem circulares em vez de quadradas?
3. Como você calculou a integral do volume no passo 4? Pode explicar a regra de potência para integrais?
4. Qual é a interpretação geométrica da integral que foi usada para calcular o volume?
5. Como se aplicaria a mesma técnica de integração para um sólido com base em outra função, como $y = x^2$?

Dica: Para seções transversais que não são perpendiculares ao eixo $x$, o procedimento pode variar, mas a ideia central é sempre calcular a área da seção transversal e integrar ao longo do intervalo de interesse.