Để tính thể tích của vật thể khi quay quanh trục $y$ bằng phương pháp vỏ trụ, ta cần thực hiện theo các bước sau:

1. Xác định hình dạng của vùng quay

Ranh giới của vùng cần tính là:

• Đường thẳng $y = 2x$
• Trục $y$ (ứng với $x = 0$)
• Đường thẳng $y = 1$

Ta sẽ quay vùng giới hạn bởi $y = 2x$ từ $y = 1$ đến trục $y$.

---

2. Biểu diễn hàm số theo biến $x$

Từ phương trình $y = 2x$, ta có thể viết lại $x$ theo $y$: $x = \frac{y}{2}$

---

3. Công thức thể tích phương pháp vỏ trụ

Công thức chung: $V = 2\pi \int_{a}^{b} \text{(bán kính)} \times \text{(chiều cao)} \, dy$

• Bán kính là khoảng cách từ trục quay $y$ đến vỏ trụ, tức là giá trị $x$ tại mỗi $y$, nên bán kính bằng $\frac{y}{2}$.
• Chiều cao của vỏ trụ là $x(y) = \frac{y}{2}$.

---

4. Tính thể tích

Giới hạn tích phân từ $y = 1$ đến $y = 2$. Do đó: $V = 2\pi \int_{1}^{2} \frac{y}{2} \cdot \frac{y}{2} \, dy = 2\pi \int_{1}^{2} \frac{y^2}{4} \, dy$ Rút gọn: $V = \frac{\pi}{2} \int_{1}^{2} y^2 \, dy$

---

5. Tính tích phân

$\int y^2 \, dy = \frac{y^3}{3}$ Áp dụng giới hạn từ 1 đến 2: [ V = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{2^3}{3} - \frac{1^3}{3} \right] = \frac{\pi}{2} \left[ \frac{8}{3} - \frac{1}{3} \right] = \frac{\pi}{2} \cdot \frac{7}{3} = \frac{7\pi}{6} ]

---

Kết luận

Thể tích của vật thể là: $V = \frac{7\pi}{6}$

---

Bạn có muốn giải thích thêm chi tiết hoặc kiểm tra phương pháp khác không?

Câu hỏi mở rộng:

1. Làm thế nào để áp dụng phương pháp đĩa để giải bài này?
2. Điều gì sẽ thay đổi nếu vùng quay quanh trục $x$?
3. Thể tích có thay đổi nếu vùng bị giới hạn khác đi không?
4. Phương pháp vỏ trụ và đĩa khác nhau ra sao?
5. Có thể sử dụng tích phân từng phần trong bài toán thể tích không?

Mẹo: Khi làm việc với phương pháp vỏ trụ, hãy luôn kiểm tra chiều cao và bán kính để đảm bảo chúng phù hợp với trục quay.