Kappaleen tilavuuden laskeminen integroimalla perustuu siihen, että tilavuus saadaan integroimalla poikkileikkauspinta-aloja $A(x)$ muuttujan $x$ suhteen määritellyltä alueelta. Tässä tehtävässä poikkileikkaus kohdassa $x$ on tasasivuinen kolmio, jonka sivun pituus on $\sqrt{x}$. Tämän avulla voimme laskea tilavuuden seuraavasti:

1. Tasasivuisen kolmion pinta-ala

Tasasivuisen kolmion pinta-ala $A$ voidaan laskea kaavalla: $A = \frac{\sqrt{3}}{4} s^2,$ missä $s$ on kolmion sivun pituus. Tässä tapauksessa $s = \sqrt{x}$. Sijoitetaan tämä kaavaan: $A(x) = \frac{\sqrt{3}}{4} (\sqrt{x})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} x.$

2. Tilavuuden laskeminen

Tilavuus saadaan integroimalla poikkileikkauspinta-ala $A(x)$ välillä $x \in [1,4]$: $V = \int_{1}^{4} A(x) \, dx = \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{3}}{4} x \, dx.$

3. Integraalin ratkaiseminen

Ensin otetaan vakio $\frac{\sqrt{3}}{4}$ integraalin ulkopuolelle: $V = \frac{\sqrt{3}}{4} \int_{1}^{4} x \, dx.$

Lasketaan integraali: $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}.$

Sijoitetaan rajat $x = 1$ ja $x = 4$: $\int_{1}^{4} x \, dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_{1}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{1^2}{2} = \frac{16}{2} - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}.$

4. Tilavuuden loppulaskenta

Sijoitetaan tulos takaisin tilavuuskaavaan: $V = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{15}{2} = \frac{15\sqrt{3}}{8}.$

Lopullinen vastaus:

Kappaleen tilavuus on: $V = \frac{15\sqrt{3}}{8}.$

Haluatko lisätietoja tai tarkempia vaiheita? Tässä viisi aiheeseen liittyvää kysymystä:

1. Miten tasasivuisen kolmion pinta-ala johdetaan?
2. Mikä on integraalin laskemisen yleinen menetelmä?
3. Miten voidaan tulkita tilavuuden fysikaalinen merkitys tässä tehtävässä?
4. Kuinka tasasivuisen kolmion ominaisuudet vaikuttavat tehtävän ratkaisuun?
5. Miten lasku muuttuu, jos kappaleen poikkileikkaus on muu kuin tasasivuinen kolmio?

Vinkki: Integraalin ratkaiseminen on helpompaa, kun hajotat ongelman pienempiin osiin ja ratkot ne systemaattisesti, kuten tässä vaiheittain tehtiin.