compruebe que la función ´´y´´ es la solución general en cada uno de las siguiente ecuación diferencial (por chicharronera)

1.-Y ´=x senx Solucion y= -xcosx+senx+c

Vamos a comprobar que la función \( y = -x\cos{x} + \sin{x} + C \) es la solución general de la ecuación diferencial dada \( y' = x \sin{x} \), utilizando el método de la "chicharronera" o factorización de raíces.

### Paso 1: Derivar la función propuesta
La ecuación dada es de primer orden, por lo tanto, derivamos la función \( y \) con respecto a \( x \).

\[
y = -x \cos{x} + \sin{x} + C
\]

La derivada de \( y \) con respecto a \( x \) es:

\[
y' = \frac{d}{dx} \left( -x \cos{x} \right) + \frac{d}{dx} \left( \sin{x} \right) + \frac{d}{dx} (C)
\]

Donde:

1. \(\frac{d}{dx} \left( -x \cos{x} \right)\) es la derivada del producto: 
   \[
   \frac{d}{dx} \left( -x \cos{x} \right) = - \left( \cos{x} - x \sin{x} \right) = -\cos{x} + x \sin{x}
   \]

2. \(\frac{d}{dx} \left( \sin{x} \right) = \cos{x}\)

3. \(\frac{d}{dx} (C) = 0\), ya que \( C \) es una constante.

Por lo tanto:

\[
y' = (-\cos{x} + x \sin{x}) + \cos{x}
\]

Simplificamos los términos:

\[
y' = x \sin{x}
\]

### Paso 2: Comparación con la ecuación diferencial

La ecuación diferencial original es \( y' = x \sin{x} \), que coincide exactamente con el resultado obtenido de la derivada de la función propuesta.

### Conclusión:
La función \( y = -x\cos{x} + \sin{x} + C \) es la **solución general** de la ecuación diferencial \( y' = x \sin{x} \).

---

¿Te gustaría que te explique algún paso más en detalle o tienes alguna pregunta?

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5. ¿Qué aplicaciones tienen las ecuaciones diferenciales en la física o la ingeniería?

**Tip:** Siempre que derivas un producto de funciones, recuerda aplicar la regla del producto (Leibniz).

compruebe que la función y es la solución general en cada uno de las siguiente ecuación diferencial (por chicharronera)

1.-Y' = x senx Solución y= -xcosx + senx + C

Learn how to verify that y = -x * cos(x) + sin(x) + C is the general solution for the differential equation y' = x * sin(x). This solution uses trigonometric functions and applies the product rule for differentiation. Suitable for undergraduate students studying calculus or differential equations.

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