Diketahui:

• Percepatan partikel, $a = -2v^3 \, \text{m/s}^2$
• Kecepatan awal, $v(0) = 8 \, \text{m/s}$
• Posisi awal, $s(0) = 10 \, \text{m}$
• Waktu, $t = 4 \, \text{detik}$

Ditanya:

• Kecepatan ($v$) dan posisi ($s$) partikel pada $t = 4 \, \text{detik}$.

Jawab:

1. Cari kecepatan $v(t)$ saat $t = 4$ detik:

   Diketahui percepatan $a = \frac{dv}{dt} = -2v^3$.

   Kita pisahkan variabel untuk mengintegrasikan:

   $\frac{dv}{v^3} = -2 \, dt$

   Integrasikan kedua sisi:

   $\int v^{-3} \, dv = \int -2 \, dt$

   Hasil integralnya adalah:

   $-\frac{1}{2v^2} = -2t + C$

   Dengan $v(0) = 8 \, \text{m/s}$, kita substitusikan untuk mencari nilai $C$:

   $-\frac{1}{2(8)^2} = -2(0) + C$ $C = -\frac{1}{128}$

   Maka persamaan menjadi:

   $-\frac{1}{2v^2} = -2t - \frac{1}{128}$

   Untuk $t = 4$ detik:

   $-\frac{1}{2v^2} = -2(4) - \frac{1}{128}$ $-\frac{1}{2v^2} = -8 - \frac{1}{128}$ $\frac{1}{2v^2} = 8 + \frac{1}{128}$ $\frac{1}{2v^2} = \frac{1024 + 1}{128}$ $\frac{1}{2v^2} = \frac{1025}{128}$ $v^2 = \frac{128}{2 \times 1025}$ $v = \sqrt{\frac{64}{1025}} \, \text{m/s}$ $v \approx 0.251 \, \text{m/s}$

2. Cari posisi $s(t)$ saat $t = 4$ detik:

   Dengan $v(t) = \frac{ds}{dt}$, kita dapatkan posisi $s(t)$ dengan mengintegrasikan $v(t)$ terhadap waktu:

   $ds = v(t) \, dt$

   Namun, $v(t)$ adalah fungsi yang rumit, jadi untuk mendapatkan posisi tepatnya, kita harus mengintegrasikan secara numerik atau menggunakan pendekatan.

   Tapi kita tahu bahwa saat $v(t)$ kecil, perubahan posisi tidak terlalu besar. Kita dapat memperkirakan posisi akhir dari $s(t)$ dengan mempertimbangkan $v(t)$ pada $t = 4$:

   $s(t = 4) = s(0) + \int_0^4 v(t) \, dt$

   Dengan $v(t) \approx 0.251 \, \text{m/s}$ rata-rata:

   $s(4) \approx 10 + 0.251 \times 4 = 10 + 1.004 \approx 11.004 \, \text{m}$

Jawaban:

Pada $t = 4$ detik:

• Kecepatan partikel adalah sekitar 0.251 m/s.
• Posisi partikel adalah sekitar 11.004 meter.

Apakah ada yang ingin Anda tanyakan lebih lanjut?

---

Pertanyaan Terkait:

1. Bagaimana jika percepatan partikel merupakan fungsi dari posisi, bukan kecepatan?
2. Bagaimana cara menghitung kecepatan akhir partikel jika percepatan berubah seiring waktu?
3. Apa dampak dari percepatan yang lebih kompleks, seperti fungsi trigonometri terhadap gerak partikel?
4. Bagaimana jika posisi awal partikel berbeda, bagaimana itu memengaruhi hasil akhir?
5. Apa perbedaan dalam perhitungan jika partikel memiliki kecepatan awal yang lebih besar atau lebih kecil?

Tip: Saat mengintegrasikan fungsi kompleks yang melibatkan kecepatan dan percepatan, pertimbangkan untuk menggunakan pendekatan numerik atau perangkat lunak khusus jika integralnya terlalu rumit.