Math Problem Statement
On considère les ensembles A={x∈R∣2−x−−−−√∈R}A={x∈R∣2−x∈R} et B={x∈R∣|x−2|≤2}B={x∈R∣|x−2|≤2}. Parmi les propositions suivantes, cocher celles qui sont vraies.
Question 3Veuillez choisir au moins une réponse.
A=]−∞,2]A=]−∞,2].
B=]−∞,4]B=]−∞,4].
A∩B=]−∞,2]A∩B=]−∞,2].
A∪B=]−∞,4]A∪B=]−∞,4].
Solution
Pour répondre à cette question, analysons d'abord les ensembles et définis comme suit :
-
Ensemble A :
- Pour que soit un réel, l'expression sous la racine doit être non négative, c'est-à-dire .
- Cela donne .
- Donc, .
-
Ensemble B :
- Résolvons l'inégalité .
- Cette inégalité signifie que , soit .
- Donc, .
Maintenant, analysons les propositions :
-
Proposition A = ]-\infty, 2] : Cette proposition est vraie, car elle correspond à l'ensemble .
-
Proposition B = ]-\infty, 4] : Cette proposition est fausse, car l'ensemble est et non .
-
Proposition :
- L'intersection de et est .
- Donc, cette proposition est fausse.
-
Proposition :
- L'union de et couvre l'intervalle .
- Donc, cette proposition est vraie.
Conclusion :
- Les propositions A = ]-\infty, 2] et A ∪ B = ]-\infty, 4] sont vraies.
Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? Voici 5 questions supplémentaires pour approfondir le sujet :
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- Pourquoi est-il important de bien déterminer les ensembles solutions avant de comparer des propositions d'ensembles ?
Astuce: Lorsque vous travaillez avec des valeurs absolues, décomposez toujours l'expression en deux cas (positif et négatif) pour trouver toutes les solutions possibles.
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Math Problem Analysis
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