On considère les ensembles A={x∈R∣2−x−−−−√∈R}A={x∈R∣2−x∈R} et B={x∈R∣|x−2|≤2}B={x∈R∣|x−2|≤2}. Parmi les propositions suivantes, cocher celles qui sont vraies.

Question 3Veuillez choisir au moins une réponse.

A=]−∞,2]A=]−∞,2].

B=]−∞,4]B=]−∞,4].

A∩B=]−∞,2]A∩B=]−∞,2].

A∪B=]−∞,4]A∪B=]−∞,4].

Pour répondre à cette question, analysons d'abord les ensembles \( A \) et \( B \) définis comme suit :

1. **Ensemble A** : \( A = \{x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{2 - x} \in \mathbb{R}\} \)

   - Pour que \( \sqrt{2 - x} \) soit un réel, l'expression sous la racine doit être non négative, c'est-à-dire \( 2 - x \geq 0 \).
   - Cela donne \( x \leq 2 \).
   - Donc, \( A = ]-\infty, 2] \).

2. **Ensemble B** : \( B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \leq 2\} \)

   - Résolvons l'inégalité \( |x - 2| \leq 2 \).
   - Cette inégalité signifie que \( -2 \leq x - 2 \leq 2 \), soit \( 0 \leq x \leq 4 \).
   - Donc, \( B = [0, 4] \).

Maintenant, analysons les propositions :

1. **Proposition A = ]-\infty, 2]** : Cette proposition est **vraie**, car elle correspond à l'ensemble \( A \).

2. **Proposition B = ]-\infty, 4]** : Cette proposition est **fausse**, car l'ensemble \( B \) est \( [0, 4] \) et non \( ]-\infty, 4] \).

3. **Proposition \( A \cap B = ]-\infty, 2] \)** : 
   - L'intersection de \( A = ]-\infty, 2] \) et \( B = [0, 4] \) est \( [0, 2] \).
   - Donc, cette proposition est **fausse**.

4. **Proposition \( A \cup B = ]-\infty, 4] \)** :
   - L'union de \( A = ]-\infty, 2] \) et \( B = [0, 4] \) couvre l'intervalle \( ]-\infty, 4] \).
   - Donc, cette proposition est **vraie**.

**Conclusion** :
- Les propositions **A = ]-\infty, 2]** et **A ∪ B = ]-\infty, 4]** sont **vraies**.

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? Voici 5 questions supplémentaires pour approfondir le sujet :

1. Comment résoudre les inégalités impliquant des valeurs absolues ?
2. Quelle est la différence entre une intersection et une union d'ensembles ?
3. Qu'est-ce qu'une fonction racine carrée et quelles sont ses propriétés ?
4. Comment interpréter géométriquement l'intersection et l'union d'intervalles sur une droite réelle ?
5. Pourquoi est-il important de bien déterminer les ensembles solutions avant de comparer des propositions d'ensembles ?

**Astuce**: Lorsque vous travaillez avec des valeurs absolues, décomposez toujours l'expression en deux cas (positif et négatif) pour trouver toutes les solutions possibles.

Explore the concepts of set theory and absolute value in real numbers through a detailed analysis of intersections and unions of intervals. Learn how to solve problems involving set definitions and interval notation. Suitable for advanced mathematics enthusiasts and students.

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