Math Problem Statement

On considère les ensembles A={x∈R∣2−x−−−−√∈R}A={x∈R∣2−x∈R} et B={x∈R∣|x−2|≤2}B={x∈R∣|x−2|≤2}. Parmi les propositions suivantes, cocher celles qui sont vraies.

Question 3Veuillez choisir au moins une réponse.

A=]−∞,2]A=]−∞,2].

B=]−∞,4]B=]−∞,4].

A∩B=]−∞,2]A∩B=]−∞,2].

A∪B=]−∞,4]A∪B=]−∞,4].

Solution

Pour répondre à cette question, analysons d'abord les ensembles AA et BB définis comme suit :

  1. Ensemble A : A={xR2xR}A = \{x \in \mathbb{R} \mid \sqrt{2 - x} \in \mathbb{R}\}

    • Pour que 2x\sqrt{2 - x} soit un réel, l'expression sous la racine doit être non négative, c'est-à-dire 2x02 - x \geq 0.
    • Cela donne x2x \leq 2.
    • Donc, A=],2]A = ]-\infty, 2].
  2. Ensemble B : B={xRx22}B = \{x \in \mathbb{R} \mid |x - 2| \leq 2\}

    • Résolvons l'inégalité x22|x - 2| \leq 2.
    • Cette inégalité signifie que 2x22-2 \leq x - 2 \leq 2, soit 0x40 \leq x \leq 4.
    • Donc, B=[0,4]B = [0, 4].

Maintenant, analysons les propositions :

  1. Proposition A = ]-\infty, 2] : Cette proposition est vraie, car elle correspond à l'ensemble AA.

  2. Proposition B = ]-\infty, 4] : Cette proposition est fausse, car l'ensemble BB est [0,4][0, 4] et non ],4]]-\infty, 4].

  3. Proposition AB=],2]A \cap B = ]-\infty, 2] :

    • L'intersection de A=],2]A = ]-\infty, 2] et B=[0,4]B = [0, 4] est [0,2][0, 2].
    • Donc, cette proposition est fausse.
  4. Proposition AB=],4]A \cup B = ]-\infty, 4] :

    • L'union de A=],2]A = ]-\infty, 2] et B=[0,4]B = [0, 4] couvre l'intervalle ],4]]-\infty, 4].
    • Donc, cette proposition est vraie.

Conclusion :

  • Les propositions A = ]-\infty, 2] et A ∪ B = ]-\infty, 4] sont vraies.

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ? Voici 5 questions supplémentaires pour approfondir le sujet :

  1. Comment résoudre les inégalités impliquant des valeurs absolues ?
  2. Quelle est la différence entre une intersection et une union d'ensembles ?
  3. Qu'est-ce qu'une fonction racine carrée et quelles sont ses propriétés ?
  4. Comment interpréter géométriquement l'intersection et l'union d'intervalles sur une droite réelle ?
  5. Pourquoi est-il important de bien déterminer les ensembles solutions avant de comparer des propositions d'ensembles ?

Astuce: Lorsque vous travaillez avec des valeurs absolues, décomposez toujours l'expression en deux cas (positif et négatif) pour trouver toutes les solutions possibles.

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