Untuk membuktikan apakah ekspresi $u_1^2v_3 + u_2v_2 + u_3v_1$ merupakan produk dalam (inner product) dalam ruang vektor, kita perlu memeriksa apakah ekspresi ini memenuhi empat sifat utama dari produk dalam:

1. Bilinearitas (Linearitas dalam setiap argumen):

   • Linearitas terhadap komponen pertama: $\langle \mathbf{u} + \mathbf{u'}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{u'}, \mathbf{v} \rangle$
   • Linearitas terhadap komponen kedua: $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} + \mathbf{v'} \rangle = \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle + \langle \mathbf{u}, \mathbf{v'} \rangle$

2. Simetri: $\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = \langle \mathbf{v}, \mathbf{u} \rangle$

3