Limit tak hingga adalah konsep dalam kalkulus yang menggambarkan perilaku suatu fungsi ketika nilai variabel mendekati tak hingga, baik itu $+\infty$ (tak hingga positif) atau $-\infty$ (tak hingga negatif). Ini digunakan untuk memahami bagaimana fungsi bertindak ketika nilai variabelnya menjadi sangat besar atau sangat kecil.

Ada dua situasi utama dalam limit tak hingga:

1. Limit menuju tak hingga: Mengamati perilaku fungsi ketika variabel menuju tak hingga.
2. Limit fungsi menuju tak hingga: Ketika nilai fungsi itu sendiri yang menuju tak hingga.

1. Limit saat $x$ menuju $+\infty$ atau $-\infty$

Limit ini menggambarkan bagaimana nilai fungsi berperilaku saat $x$ menjadi sangat besar atau sangat kecil.

Contoh:

Misalkan fungsi $f(x) = \frac{2x^2 + 3x}{x^2 + 1}$.

Untuk menghitung limit dari fungsi ini saat $x \to +\infty$, kita bagi pembilang dan penyebut oleh derajat tertinggi variabel, yaitu $x^2$:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{x^2 + 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}}$

Karena $\frac{3}{x} \to 0$ dan $\frac{1}{x^2} \to 0$ saat $x \to \infty$, maka hasilnya adalah:

$\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{2}{1} = 2$

Jadi, $\lim_{x \to \infty} f(x) = 2$.

2. Limit fungsi menuju $+\infty$ atau $-\infty$

Ini terjadi ketika nilai fungsi mendekati tak hingga (positif atau negatif) saat $x$ mendekati nilai tertentu.

Contoh:

Misalkan $f(x) = \frac{1}{x}$. Jika kita mencari $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ (limit ketika $x$ mendekati 0 dari sisi positif):

$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$

Ini berarti ketika $x$ mendekati 0 dari sisi kanan, nilai fungsi $f(x)$ menjadi sangat besar (mendekati tak hingga).

Kesimpulan:

Limit tak hingga memungkinkan kita untuk memahami bagaimana fungsi berperilaku ketika variabel atau hasilnya mendekati nilai yang sangat besar atau kecil. Ini adalah konsep penting dalam kalkulus, terutama dalam analisis asimptotik dan penentuan perilaku fungsi pada batas.

---

Apakah Anda ingin saya jelaskan lebih lanjut atau ada pertanyaan lainnya? Berikut 5 soal terkait konsep limit tak hingga:

1. Hitung $\lim_{x \to -\infty} \frac{5x^3 + 2x}{x^2 + 4}$.
2. Tentukan $\lim_{x \to \infty} \frac{3x - 1}{2x + 7}$.
3. Jika $f(x) = \frac{4}{x^2 + 1}$, berapa $\lim_{x \to \infty} f(x)$?
4. Apakah $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}$ menuju $+\infty$ atau $-\infty$?
5. Temukan $\lim_{x \to \infty} \sqrt{x^2 + x} - x$.

Tip: Ketika menghitung limit menuju tak hingga, coba sederhanakan fungsi dengan membagi semua suku oleh pangkat tertinggi dari variabel.