ある試行の2つの事象Ａ，Ｂについて、ＰＡ(Ｂ)=Ｐ(Ｂ)が成り立つとき事象Ａは事象Ｂと独立であるという。このとき、ＰＢ(Ａ)も成り立つことをしめせ。

事象 \( A \) と事象 \( B \) が独立であるとは、以下の条件が成り立つことを意味します：

\[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
\]

また、問題文で与えられている条件は \( P_A(B) = P(B) \) です。これは条件付き確率であり、以下のように定義されます：

\[
P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
\]

この式に問題文の条件を代入すると、

\[
\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = P(B)
\]

両辺に \( P(A) \) を掛けると、

\[
P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)
\]

となります。これは、事象 \( A \) と事象 \( B \) が独立であることを意味します。

次に、 \( P_B(A) \) が成り立つことを示します。条件付き確率 \( P_B(A) \) は次のように定義されます：

\[
P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]

ここで、 \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \) が成り立つことを用いると、

\[
P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)
\]

したがって、\( P_B(A) = P(A) \) が成り立つことが示されました。

### 質問はありますか？ 詳細が必要ですか？

次に関連する5つの質問です：

1. 条件付き確率の定義とは何ですか？
2. 事象 \( A \) と \( B \) の独立性の具体例は何ですか？
3. 事象の独立性が成り立たない場合、どのようなことが起こりますか？
4. 条件付き確率と同時確率の違いは何ですか？
5. 条件付き確率の計算において、分母がゼロの場合、どのように対処すべきですか？

**Tip:** 独立な事象において、ある事象が起こるかどうかは、他の事象が起こる確率に影響を与えません。

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