事象 $A$ と事象 $B$ が独立であるとは、以下の条件が成り立つことを意味します：

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

また、問題文で与えられている条件は $P_A(B) = P(B)$ です。これは条件付き確率であり、以下のように定義されます：

$P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

この式に問題文の条件を代入すると、

$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = P(B)$

両辺に $P(A)$ を掛けると、

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

となります。これは、事象 $A$ と事象 $B$ が独立であることを意味します。

次に、 $P_B(A)$ が成り立つことを示します。条件付き確率 $P_B(A)$ は次のように定義されます：

$P_B(A) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$

ここで、 $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ が成り立つことを用いると、

$P_B(A) = \frac{P(A) \cdot P(B)}{P(B)} = P(A)$

したがって、$P_B(A) = P(A)$ が成り立つことが示されました。

質問はありますか？ 詳細が必要ですか？

次に関連する5つの質問です：

1. 条件付き確率の定義とは何ですか？
2. 事象 $A$ と $B$ の独立性の具体例は何ですか？
3. 事象の独立性が成り立たない場合、どのようなことが起こりますか？
4. 条件付き確率と同時確率の違いは何ですか？
5. 条件付き確率の計算において、分母がゼロの場合、どのように対処すべきですか？

Tip: 独立な事象において、ある事象が起こるかどうかは、他の事象が起こる確率に影響を与えません。