در ریاضیات، تابع به رابطه‌ای اطلاق می‌شود که هر ورودی (یا عنصر از دامنه تابع) را به یک خروجی مشخص (یا عنصر از برد تابع) مرتبط می‌کند. یعنی برای هر مقدار ورودی تنها یک مقدار خروجی وجود دارد.

شرایطی که یک رابطه باید داشته باشد تا تابع باشد:

1. هر ورودی دقیقاً یک خروجی دارد: به این معنی که برای هر $x$ از دامنه، باید تنها یک مقدار $f(x)$ وجود داشته باشد. به عبارت دیگر، برای هیچ ورودی نباید دو مقدار متفاوت از خروجی‌ها وجود داشته باشد.

2. دامنه مشخص: دامنه مجموعه‌ای از تمام مقادیری است که ورودی تابع می‌تواند از آن‌ها باشد.

شرایطی که نشان می‌دهند رابطه تابع نیست:

• اگر برای یک ورودی خاص دو یا بیشتر از یک مقدار خروجی وجود داشته باشد، آن رابطه تابع نیست.
• اگر ورودی‌ای وجود داشته باشد که به هیچ خروجی‌ای مرتبط نباشد (رابطه تعریف نشده باشد)، آن نیز تابع نیست.

مثال:

1. تابع: فرض کنید $f(x) = x^2$. برای هر مقدار $x$ یک مقدار مشخص $x^2$ وجود دارد.

2. غیر تابع: فرض کنید رابطه‌ای داشته باشیم که به ازای $x = 2$ دو مقدار مختلف $y = 4$ و $y = -4$ را مرتبط کند. این رابطه تابع نیست.

---

اگر تمایل دارید که جزئیات بیشتری در این زمینه بررسی کنیم، خوشحال می‌شوم که ادامه دهم.

۵ سوال برای بررسی بیشتر:

1. چگونه می‌توان دامنه و برد یک تابع را تعیین کرد؟
2. تابع چند به چند (many-to-one) چیست؟
3. آیا برای هر رابطه‌ای که در آن یک ورودی بیش از یک خروجی داشته باشد، می‌توان تابعی ایجاد کرد؟
4. مفهوم تابع معکوس چیست و چگونه تعریف می‌شود؟
5. چه رابطه‌ای بین گراف تابع و قوانین تابع وجود دارد؟

نکته:

برای تشخیص اینکه آیا یک رابطه تابع است یا خیر، می‌توانید از نمودار آن استفاده کنید. به کمک خط عمودی در گراف تابع، اگر در هر نقطه فقط یک برخورد با نمودار داشته باشیم، آن رابطه تابع است.