Ερώτηση: 9 (εξήγηση στηντελευταία σελίδα)
Μια πολλαπλή παλινδρόμηση με 3 επεξηγηματικές
μεταβλητές εκτιμήθηκε σε ένα δείγμαμεγέθουςκα
26 και προέκυψε άθροισμα τετραγωνικών
καταλοίπων ίσο με SSR=132. Στη συνέχεια έγινε
έλεγχος κατά πόσο ισχύει ένας περιορισμός στους
συντελεστές κλίσης της παλινδρόμησης. Σε αυτότο
πλαίσιο εκτιμήθηκε το περιορισμένο μοντέλο και
προέκυψε αντίστοιχο άθροισμα τετραγωνικών
καταλοίπων ίσο με 157. 
A)Σε επιπεδο α=10% δεν μπορουμε να απορειψουμε την μηδενικη υποθεση οτι ισχυει ο περιορισμός
B)Σε επιπεδο α=5% δεν μπορουμε να απορειψουμε την μηδενικη υποθεση οτι ισχυει ο περιορισμός
C)Σε επιπεδο α=1% απορειπτεται η μηδενικη υποθεση οτι ισχυει ο περιορισμός

D)Σε επιπεδο α=5% απορειπτεται η μηδενικη υποθεση οτι ισχυει ο περιορισμός

Για να απαντήσουμε στο ερώτημα, πρέπει να πραγματοποιήσουμε έναν έλεγχο υποθέσεων για τους περιορισμούς στους συντελεστές κλίσης μέσω του **F-test**.

### Βήματα:

1. **Υπόθεση**
   - Μηδενική Υπόθεση \( H_0 \): Ο περιορισμός ισχύει.
   - Εναλλακτική Υπόθεση \( H_1 \): Ο περιορισμός δεν ισχύει.

2. **Στατιστικό F**
   - Ο τύπος του **F-statistic** είναι:
     \[
     F = \frac{(SSR_r - SSR_u) / q}{SSR_u / (n - k)}
     \]
     όπου:
     - \( SSR_r \): Άθροισμα τετραγωνικών καταλοίπων του περιορισμένου μοντέλου (157),
     - \( SSR_u \): Άθροισμα τετραγωνικών καταλοίπων του μη περιορισμένου μοντέλου (132),
     - \( q \): Αριθμός περιορισμών,
     - \( n \): Μέγεθος δείγματος (26),
     - \( k \): Αριθμός παραμέτρων στο μη περιορισμένο μοντέλο (συμπεριλαμβανομένης της σταθεράς).

3. **Εφαρμογή δεδομένων**
   - Έχουμε 3 επεξηγηματικές μεταβλητές, άρα το μη περιορισμένο μοντέλο έχει \( k = 4 \) παραμέτρους (συμπεριλαμβανομένης της σταθεράς).
   - Έστω ότι έχουμε 1 περιορισμό, άρα \( q = 1 \).
   - Το μέγεθος του δείγματος είναι \( n = 26 \).

4. **Υπολογισμός του F-statistic**
   Θα υπολογίσουμε το F στατιστικό, καθώς και το κρίσιμο επίπεδο F για τις τρεις περιπτώσεις (α = 10%, 5%, 1%).

### Υπολογισμός:
Θα χρησιμοποιήσω τον παραπάνω τύπο για τον υπολογισμό.Ο υπολογισμός του \( F \)-statistic μας δίνει:

\[
F = 4.167
\]

### Κριτήρια αποδοχής ή απόρριψης:
Για να αποφασίσουμε αν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση, πρέπει να συγκρίνουμε αυτό το \( F \)-statistic με τις κρίσιμες τιμές για τα αντίστοιχα επίπεδα σημαντικότητας \( \alpha = 10\%, 5\%, 1\% \).

- **Βαθμοί ελευθερίας**:
  - Για τον αριθμητή: \( q = 1 \)
  - Για τον παρονομαστή: \( n - k = 26 - 4 = 22 \)

Τώρα, θα υπολογίσω τις κρίσιμες τιμές για κάθε επίπεδο σημαντικότητας.Οι κρίσιμες τιμές του \( F \)-statistic για τα αντίστοιχα επίπεδα σημαντικότητας είναι:

- Για \( \alpha = 10\% \), \( F_{crit} = 2.95 \)
- Για \( \alpha = 5\% \), \( F_{crit} = 4.30 \)
- Για \( \alpha = 1\% \), \( F_{crit} = 7.95 \)

### Σύγκριση:

- Σε επίπεδο \( \alpha = 10\% \), \( F = 4.167 \) > \( F_{crit} = 2.95 \), άρα απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση.
- Σε επίπεδο \( \alpha = 5\% \), \( F = 4.167 \) < \( F_{crit} = 4.30 \), άρα δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση.
- Σε επίπεδο \( \alpha = 1\% \), \( F = 4.167 \) < \( F_{crit} = 7.95 \), άρα δεν απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση.

### Συμπέρασμα:
- Η σωστή απάντηση είναι η επιλογή **B: Σε επίπεδο α = 5% δεν μπορούμε να απορρίψουμε τη μηδενική υπόθεση ότι ισχύει ο περιορισμός**.

Θέλεις περισσότερες λεπτομέρειες ή έχεις κάποια απορία;

### Σχετικές ερωτήσεις:
1. Πώς επηρεάζει το μέγεθος του δείγματος το \( F \)-test;
2. Τι είναι το \( F \)-statistic και πότε χρησιμοποιείται;
3. Ποια είναι τα βήματα για την εκτέλεση ενός \( F \)-test στην πολλαπλή παλινδρόμηση;
4. Πώς υπολογίζουμε τις κρίσιμες τιμές για τα διάφορα επίπεδα σημαντικότητας;
5. Τι υποθέσεις πρέπει να ισχύουν για την εγκυρότητα του \( F \)-test;

### Συμβουλή:
Για να βελτιώσεις την κατανόησή σου στην παλινδρόμηση, εξάσκησε τον υπολογισμό του \( R^2 \) και πώς συνδέεται με το \( F \)-test.

Ερώτηση: 9 (εξήγηση στηντελευταία σελίδα)
Μια πολλαπλή παλινδρόμηση με 3 επεξηγηματικές
μεταβλητές εκτιμήθηκε σε ένα δείγμαμεγέθουςκα
26 και προέκυψε άθροισμα τετραγωνικών
καταλοίπων ίσο με SSR=132. Στη συνέχεια έγινε
έλεγχος κατά πόσο ισχύει ένας περιορισμός στους
συντελεστές κλίσης της παλινδρόμησης. Σε αυτότο
πλαίσιο εκτιμήθηκε το περιορισμένο μοντέλο και
προέκυψε αντίστοιχο άθροισμα τετραγωνικών
καταλοίπων ίσο με 157. A)Σε επιπεδο α=10% δεν μπορουμε να απορειψουμε την μηδενικη υποθεση οτι ισχυει ο περιορισμός B)Σε επιπεδο α=5% δεν μπορουμε να απορειψουμε την μηδενικη υποθεση οτι ισχυει ο περιορισμός C)Σε επιπεδο α=1% απορειπτεται η μηδενικη υποθεση οτι ισχυει ο περιορισμός D)Σε επιπεδο α=5% απορειπτεται η μηδενικη υποθεση οτι ισχυει ο περιορισμός

Learn how to perform hypothesis testing in multiple regression using the F-test. This problem explores a scenario with 3 explanatory variables and sample size of 26. It explains how to calculate the F-statistic and evaluate the null hypothesis at significance levels of 10%, 5%, and 1%.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation