Die Exponentialfunktion ist eine mathematische Funktion, die in der Form

$f(x) = a \cdot e^{k \cdot x}$

dargestellt wird, wobei:

• $e$ die Eulersche Zahl ist (ungefähr 2,718),
• $a$ ein Startwert oder Skalierungsfaktor ist,
• $k$ die Wachstums- oder Zerfallsrate beschreibt, und
• $x$ die unabhängige Variable ist.

Die Exponentialfunktion tritt häufig in verschiedenen Bereichen auf, wie z. B. in der Physik, Biologie, Ökonomie und Informatik, wenn Prozesse untersucht werden, bei denen Wachstums- oder Zerfallsmuster auftreten.

Eigenschaften der Exponentialfunktion:

1. Unendliches Wachstum oder Zerfall:

   • Für $k > 0$: Die Funktion wächst exponentiell (z. B. Bevölkerungswachstum).
   • Für $k < 0$: Die Funktion fällt exponentiell (z. B. radioaktiver Zerfall).

2. Immer positiv: $e^{k \cdot x} > 0$, unabhängig von $x$.

3. Ableitung und Stammfunktion: Die Exponentialfunktion ist die einzige Funktion, deren Ableitung und Stammfunktion dieselbe Form haben: $\frac{d}{dx} e^{k \cdot x} = k \cdot e^{k \cdot x}, \quad \int e^{k \cdot x} \, dx = \frac{1}{k} e^{k \cdot x} + C$

4. Schnelles Wachstum: Für große Werte von $x$ wächst $e^x$ schneller als jede Polynomfunktion.

Beispiel einer Exponentialfunktion:

Die Funktion $f(x) = 3 \cdot e^{0.5x}$ beschreibt ein exponentielles Wachstum:

• $a = 3$: Die Funktion startet bei 3, wenn $x = 0$.
• $k = 0.5$: Das Wachstum erfolgt mit einer Rate von 50 %.

Für $x = 2$ ergibt sich: $f(2) = 3 \cdot e^{0.5 \cdot 2} = 3 \cdot e^1 \approx 3 \cdot 2.718 = 8.154$

Hast du Fragen dazu oder möchtest du ein spezifisches Beispiel sehen?

5 Fragen zum Vertiefen:

1. Wie wird die Exponentialfunktion in der Finanzmathematik angewandt, z. B. bei Zinseszinsen?
2. Was ist der Unterschied zwischen natürlichem und allgemeinem Logarithmus, und wie hängt das mit $e$ zusammen?
3. Wie wird die Exponentialfunktion bei Wachstumsmodellen in der Biologie verwendet?
4. Welche Eigenschaften hat die Funktion $f(x) = e^{-x}$?
5. Wie berechnet man eine Lösung für $e^x = 5$?

Tipp:

Merke dir, dass $e^{k \cdot x}$ immer größer wird, je größer $x$ ist (wenn $k > 0$), und niemals den Wert 0 erreicht. Das macht die Funktion ideal für stetiges Wachstum oder Zerfall!