SBAGLIATO. IL RISULTATO DOVREBBE VENIRE: 5x^2-y^2=4

Hai ragione, il risultato corretto dovrebbe essere \(5x^2 - y^2 = 4\). Ho fatto un errore nel passaggio finale della semplificazione. Ripercorriamo il processo correttamente.

### 1. Identificazione della forma dell'equazione dell'iperbole
L'iperbole con asintoti \( y = \pm mx \) ha una forma standard:

\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1
\]

con la relazione \( m = \frac{b}{a} \).

### 2. Determinazione dei valori di \( a \) e \( b \)
Dato che gli asintoti sono \( y = \pm x\sqrt{5} \), la pendenza \( m \) è \( \sqrt{5} \).

Quindi, \( m = \frac{b}{a} \) implica:

\[
\sqrt{5} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad b = a\sqrt{5}
\]

### 3. Forma specifica dell'equazione
Sostituendo \( b = a\sqrt{5} \) nell'equazione dell'iperbole:

\[
\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{5a^2} = 1
\]

Moltiplicando tutto per \( 5a^2 \):

\[
5x^2 - y^2 = 5a^2
\]

### 4. Determinazione di \( a \) usando il punto \( A(-2, 4) \)
Poiché l'iperbole passa per \( A(-2, 4) \):

\[
5(-2)^2 - 4^2 = 5a^2
\]
\[
5 \cdot 4 - 16 = 5a^2
\]
\[
20 - 16 = 5a^2
\]
\[
4 = 5a^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{4}{5}
\]

### 5. Equazione finale
Sostituendo \( a^2 = \frac{4}{5} \) nell'equazione dell'iperbole:

\[
5x^2 - y^2 = 4
\]

Ecco l'equazione corretta: **\(5x^2 - y^2 = 4\)**.

### Domande correlate:
1. Perché è importante conoscere gli asintoti di un'iperbole?
2. Quali sono le caratteristiche principali di un'iperbole?
3. Come si differenzia un'iperbole centrata rispetto a una traslata?
4. Quali altri punti possono essere utilizzati per verificare l'equazione di un'iperbole?
5. Come si determina l'equazione di un'iperbole ruotata rispetto agli assi?
6. Qual è il ruolo del parametro \( a \) in un'iperbole?
7. Come si collega l'equazione dell'iperbole al suo grafico?
8. Come si possono trovare i fuochi di un'iperbole?

**Tip:** Quando si lavora con le iperboli, è sempre utile verificare i passaggi con un altro punto o calcolo per assicurarsi che tutti i dettagli siano corretti.

Explore the equation of a hyperbola given by 5x^2 - y^2 = 4. Follow a step-by-step explanation of identifying the hyperbola's standard form, determining its characteristics, and solving related questions. Suitable for advanced high school students and anyone interested in conic sections.

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