Hai ragione, il risultato corretto dovrebbe essere $5x^2 - y^2 = 4$. Ho fatto un errore nel passaggio finale della semplificazione. Ripercorriamo il processo correttamente.

1. Identificazione della forma dell'equazione dell'iperbole

L'iperbole con asintoti $y = \pm mx$ ha una forma standard:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$

con la relazione $m = \frac{b}{a}$.

2. Determinazione dei valori di $a$ e $b$

Dato che gli asintoti sono $y = \pm x\sqrt{5}$, la pendenza $m$ è $\sqrt{5}$.

Quindi, $m = \frac{b}{a}$ implica:

$\sqrt{5} = \frac{b}{a} \quad \Rightarrow \quad b = a\sqrt{5}$

3. Forma specifica dell'equazione

Sostituendo $b = a\sqrt{5}$ nell'equazione dell'iperbole:

$\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{5a^2} = 1$

Moltiplicando tutto per $5a^2$:

$5x^2 - y^2 = 5a^2$

4. Determinazione di $a$ usando il punto $A(-2, 4)$

Poiché l'iperbole passa per $A(-2, 4)$:

$5(-2)^2 - 4^2 = 5a^2$ $5 \cdot 4 - 16 = 5a^2$ $20 - 16 = 5a^2$ $4 = 5a^2 \quad \Rightarrow \quad a^2 = \frac{4}{5}$

5. Equazione finale

Sostituendo $a^2 = \frac{4}{5}$ nell'equazione dell'iperbole:

$5x^2 - y^2 = 4$

Ecco l'equazione corretta: $5x^2 - y^2 = 4$.

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Tip: Quando si lavora con le iperboli, è sempre utile verificare i passaggi con un altro punto o calcolo per assicurarsi che tutti i dettagli siano corretti.