För att bestämma definitionsmängden och värdemängden för funktionen $y(x) = 2x^3 - 4x$ behöver vi förstå följande:

Definitionsmängd

Definitionsmängden av en funktion är alla möjliga värden på $x$ som du kan sätta in i funktionen utan att orsaka några problem (som division med noll eller att ta roten ur ett negativt tal).

För funktionen $y(x) = 2x^3 - 4x$ finns det inga sådana problem; du kan sätta in vilket reellt tal som helst för $x$. Därför är definitionsmängden för denna funktion alla reella tal: $D_y = \mathbb{R}$

Värdemängd

Värdemängden är alla möjliga värden på $y$ som funktionen kan anta när $x$ varierar över definitionsmängden.

För att bestämma värdemängden måste vi analysera funktionen närmare:

1. Studera derivatan för att hitta extrempunkter: $y'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 - 4x) = 6x^2 - 4$ Sätt derivatan lika med noll för att hitta kritiska punkter: $6x^2 - 4 = 0 \implies x^2 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \implies x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}}$

2. Bestäm funktionens värden vid dessa kritiska punkter: $y\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = 2\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)^3 - 4\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = \frac{4\sqrt{6}}{9} - \frac{4\sqrt{6}}{3} = -\frac{8\sqrt{6}}{9}$ $y\left(-\sqrt{\frac{2}{3}}\right) = -\frac{8\sqrt{6}}{9}$

   Dessa punkter motsvarar minima och maxima.

3. Analysera gränserna när $x$ går mot oändlighet: $\lim_{x \to \pm \infty} y(x) = \lim_{x \to \pm \infty} (2x^3 - 4x) = \pm \infty$

   Eftersom $y(x)$ går mot oändligheten både mot positiva och negativa oändligheten, har vi att funktionen antar alla reella värden som $y$.

Värdemängden är därför också alla reella tal: $V_y = \mathbb{R}$

Sammanfattning

• Definitionsmängd: $\mathbb{R}$
• Värdemängd: $\mathbb{R}$

Vill du ha fler detaljer eller har några frågor?

Relaterade frågor:

1. Hur bestämmer man nollställen för en funktion?
2. Vad är skillnaden mellan lokala och globala extrempunkter?
3. Hur analyserar man asymptoter för en rationell funktion?
4. Hur kan man använda derivata för att bestämma konvexitet?
5. Vad är skillnaden mellan en ensidig och tvåsidig gräns?

Tips: Vid analys av värdemängden är det ofta bra att börja med att undersöka derivatans nollställen för att identifiera extrempunkter.