Math Problem Statement

Если xx и x1x1 значения аргумента xx, а y=f(x)y=f(x) и y1=f(x1)y1=f(x1) – соответствующие значения функции y=f(x)y=f(x), то Δx=x1−xΔx=x1−x называется приращением аргумента xx, а Δy=y1−yΔy=y1−y или Δy=f(x1)−f(x)=f(x+Δx)−f(x)Δy=f(x1)−f(x)=f(x+Δx)−f(x) – приращением функции yy, соответствующим приращению ΔxΔx аргумента.

Производной функции y=f(x)y=f(x) по аргументу xx называется предел отношения приращения функции ΔyΔy к приращению аргумента ΔxΔx, когда ΔxΔx стремится к нулю, т.е.

y′=limΔx→0ΔyΔxy′=limΔx→0ΔyΔx,

если этот предел существует.

Нахождение производной y′(x)y′(x) называют дифференцированием функции y=f(x)y=f(x).

Геометрический смысл производной: производная y′=f′(x)y′=f′(x) в точке x0x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке с абсциссой x0x0.

Механический смысл производной: производная y′=f′(x)y′=f′(x) в точке x0x0 равна мгновенной скорости материальной точки, ордината которой меняется по закону y=f(x)y=f(x), в момент времени x0x0.

Укажите, чему равна производная функции, график которой указан на рисунке, в точке x0x0?

Solution

Для определения производной функции y=f(x)y = f(x) в точке x0x_0, нужно вычислить предел:

f(x0)=limΔx0ΔyΔx,f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x},

где Δy=f(x0+Δx)f(x0)\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0), а Δx\Delta x — приращение аргумента.

Если у вас есть рисунок с графиком функции:

  1. Производная f(x0)f'(x_0) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции в точке x0x_0. Если на графике виден угол наклона касательной, его значение используется для вычисления производной.
  2. Для определения производной необходимо знать вид графика вблизи точки x0x_0. Например:
    • Если график горизонтален в x0x_0, то f(x0)=0f'(x_0) = 0.
    • Если график линейно возрастает или убывает, производная равна угловому коэффициенту этой прямой.

Могу помочь подробнее, если вы загрузите рисунок. Если график не предоставлен, опишите его словами.


Хотите уточнений или вопросов? Вот 5 связанных вопросов:

  1. Как связаны значение производной и скорость изменения функции?
  2. Что означает отрицательное значение производной?
  3. Как вычислить производную для стандартных функций (например, y=x2y = x^2)?
  4. Как интерпретировать производную функции с физической точки зрения?
  5. Почему касательная описывает мгновенную скорость изменения функции?

Совет: При вычислении производной внимательно проверяйте, где именно задана точка x0x_0, так как контекст графика функции влияет на результат.

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Calculus
Derivative
Limits
Rate of Change

Formulas

y' = lim(Δx → 0) (Δy / Δx)
Δy = f(x + Δx) - f(x)

Theorems

Definition of the Derivative
Geometric and Mechanical Interpretation of Derivatives

Suitable Grade Level

Grades 11-12 or University Level