Math Problem Statement

已知复数z满足iz=3+4i, 则下列关于复数z的说法正确的是
 A. 虚部为-3i B. 对应的共轭复数为4+3i C. 模长为5 D. 在复平面内对应点的坐标为(4, -3)

Solution

我们已知复数 zz 满足 iz=3+4iiz = 3 + 4i。为了找到 zz,我们需要将方程解出。

首先,我们将方程两边除以 ii

z=3+4iiz = \frac{3 + 4i}{i}

现在我们来处理这个分数。我们知道 ii 是复数单位,且 i=1i = \sqrt{-1}。通过乘以 ii 的共轭,即 i-i,我们可以简化分数:

z=3+4ii×ii=(3+4i)(i)i2=3i4i2(1)=3i+41=43iz = \frac{3 + 4i}{i} \times \frac{-i}{-i} = \frac{(3 + 4i)(-i)}{-i^2} = \frac{-3i - 4i^2}{-(-1)} = \frac{-3i + 4}{1} = 4 - 3i

所以,复数 zz43i4 - 3i

我们可以验证以下说法:

A. 虚部为-3i

虚部指的是复数 zz 中的虚数部分。对于 z=43iz = 4 - 3i,虚部是 3-3,而不是 3i-3i。所以 A 是错误的。

B. 对应的共轭复数为4+3i

复数 z=43iz = 4 - 3i 的共轭复数是 4+3i4 + 3i。所以 B 是正确的。

C. 模长为5

复数 z=43iz = 4 - 3i 的模长是:

z=42+(3)2=16+9=25=5|z| = \sqrt{4^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5

所以 C 是正确的。

D. 在复平面内对应点的坐标为(4, -3)

复数 z=43iz = 4 - 3i 对应的点在复平面内的坐标确实是 (4, -3)。所以 D 是正确的。

总结:B、C、D 是正确的。

如果你有任何问题或者需要进一步的细节,请告诉我。

您可以问以下问题:

  1. 你能解释一下如何找到复数的共轭吗?
  2. 为什么要用共轭来简化分数?
  3. 你能详细解释一下模长的计算吗?
  4. 复数的实部和虚部是什么意思?
  5. 如何在复平面上表示一个复数?

小提示:复数的共轭是将虚部的符号改变。

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