Math Problem Statement
Время работы генератора автомобиля подчинено усеченному нормальному распределению с параметрами T=8000 часов и σ=1000 часов. Найти вероятность безотказной работы генератора в течение А=10000 часов, плотность распределения наработки на отказ для Б=6000 часов, интенсивность отказов для А=10000 часов и среднее время безотказной работы.
Solution
Заданный вопрос включает несколько этапов расчета для усеченного нормального распределения. Рассмотрим каждый из них.
1. Параметры усеченного нормального распределения
- часов — среднее время работы генератора.
- часов — стандартное отклонение.
- Усеченное нормальное распределение означает, что вероятность для , времени работы генератора, ограничена снизу (на нуле) или сверху, как в этом случае.
2. Вероятность безотказной работы генератора в течение часов
Для усеченного нормального распределения вероятность того, что генератор проработает до 10000 часов, можно найти как вероятность того, что случайная величина из усеченного нормального распределения примет значение меньше или равно 10000:
Для этого нам нужно найти стандартную нормальную вероятность, преобразовав значение 10000 к стандартной нормальной величине с помощью преобразования:
Теперь нужно найти для стандартного нормального распределения. Используя таблицы стандартного нормального распределения или калькулятор, получаем:
Таким образом, вероятность того, что генератор проработает 10000 часов или меньше, равна 0.9772.
3. Плотность распределения наработки на отказ для часов
Для нахождения плотности распределения в точке часов для усеченного нормального распределения нужно воспользоваться следующей формулой для плотности вероятности усеченного нормального распределения:
Здесь — это нормирующий множитель, который, как правило, равен 1, если распределение усечено сверху или снизу.
Для нахождения плотности , подставим , , :
Вычислим это:
Получим значение, подставив числовые значения для и прочее.
4. Интенсивность отказов для часов
Интенсивность отказов для усеченного нормального распределения может быть вычислена как производная функции плотности распределения:
5. Среднее время безотказной работы
Среднее время безотказной работы для усеченного нормального распределения можно вычислить по формуле для математического ожидания:
где — это функция стандартного нормального распределения.
Если вам нужны конкретные вычисления для каждого из пунктов или дальнейшие уточнения, не стесняйтесь уточнять, и я продолжу расчет!
Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Truncated normal distribution
Probability density function
Standard normal distribution
Failure rate
Expected value
Formulas
Z = (X - T) / σ
P(Z ≤ z)
f_X(x) = (1 / (sqrt(2π)σ)) * exp(-(x - T)^2 / (2σ^2))
λ = -d/dx P(X > x)
E[X] = T + (σ * ϕ((0 - T) / σ)) / P(X ≤ ∞)
Theorems
Properties of the normal distribution
Standardization of normal random variables
Suitable Grade Level
Undergraduate (Statistics or Probability)
Related Recommendation
Calculate Probability Using Normal Distribution for t = 220 Hours
Normal Distribution: Component Life Analysis
Probability of Light Bulb Failure Before 900 Hours Using Logarithmic Normal Distribution
Probability of Monitor Life Span Exceeding 16,040 Hours
MTTF Calculation Using Polynomial Integral with α = 1.2x10^-11