Math Problem Statement

Время работы генератора автомобиля подчинено усеченному нормальному распределению с параметрами T=8000 часов и σ=1000 часов. Найти вероятность безотказной работы генератора в течение А=10000 часов, плотность распределения наработки на отказ для Б=6000 часов, интенсивность отказов для А=10000 часов и среднее время безотказной работы.

Solution

Заданный вопрос включает несколько этапов расчета для усеченного нормального распределения. Рассмотрим каждый из них.

1. Параметры усеченного нормального распределения

  • T=8000T = 8000 часов — среднее время работы генератора.
  • σ=1000\sigma = 1000 часов — стандартное отклонение.
  • Усеченное нормальное распределение означает, что вероятность для XX, времени работы генератора, ограничена снизу (на нуле) или сверху, как в этом случае.

2. Вероятность безотказной работы генератора в течение A=10000A = 10000 часов

Для усеченного нормального распределения вероятность того, что генератор проработает до 10000 часов, можно найти как вероятность того, что случайная величина XX из усеченного нормального распределения примет значение меньше или равно 10000:

P(X10000)P(X \leq 10000)

Для этого нам нужно найти стандартную нормальную вероятность, преобразовав значение 10000 к стандартной нормальной величине с помощью преобразования:

Z=XTσ=1000080001000=2Z = \frac{X - T}{\sigma} = \frac{10000 - 8000}{1000} = 2

Теперь нужно найти P(Z2)P(Z \leq 2) для стандартного нормального распределения. Используя таблицы стандартного нормального распределения или калькулятор, получаем:

P(Z2)0.9772P(Z \leq 2) \approx 0.9772

Таким образом, вероятность того, что генератор проработает 10000 часов или меньше, равна 0.9772.

3. Плотность распределения наработки на отказ для B=6000B = 6000 часов

Для нахождения плотности распределения в точке X=6000X = 6000 часов для усеченного нормального распределения нужно воспользоваться следующей формулой для плотности вероятности усеченного нормального распределения:

fX(x)=12πσe(xT)22σ2P(X)для x0f_X(x) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{-\frac{(x - T)^2}{2\sigma^2}}}{P(X \leq \infty)} \quad \text{для } x \geq 0

Здесь P(X)P(X \leq \infty) — это нормирующий множитель, который, как правило, равен 1, если распределение усечено сверху или снизу.

Для нахождения плотности fX(6000)f_X(6000), подставим x=6000x = 6000, T=8000T = 8000, σ=1000\sigma = 1000:

fX(6000)=12π1000e(60008000)2210002P(X)f_X(6000) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 1000} e^{-\frac{(6000 - 8000)^2}{2 \cdot 1000^2}}}{P(X \leq \infty)}

Вычислим это:

fX(6000)=12π1000e(2000)2210002P(X)=12π1000e2P(X)f_X(6000) = \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 1000} e^{-\frac{(2000)^2}{2 \cdot 1000^2}}}{P(X \leq \infty)} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi} \cdot 1000} e^{-2}}{P(X \leq \infty)}

Получим значение, подставив числовые значения для e2e^{-2} и прочее.

4. Интенсивность отказов для A=10000A = 10000 часов

Интенсивность отказов λ\lambda для усеченного нормального распределения может быть вычислена как производная функции плотности распределения:

λ=ddxP(X>x)\lambda = -\frac{d}{dx}P(X > x)

5. Среднее время безотказной работы

Среднее время безотказной работы для усеченного нормального распределения можно вычислить по формуле для математического ожидания:

E[X]=T+σϕ(0Tσ)P(X)E[X] = T + \frac{\sigma \phi(\frac{0 - T}{\sigma})}{P(X \leq \infty)}

где ϕ(z)\phi(z) — это функция стандартного нормального распределения.

Если вам нужны конкретные вычисления для каждого из пунктов или дальнейшие уточнения, не стесняйтесь уточнять, и я продолжу расчет!

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Truncated normal distribution
Probability density function
Standard normal distribution
Failure rate
Expected value

Formulas

Z = (X - T) / σ
P(Z ≤ z)
f_X(x) = (1 / (sqrt(2π)σ)) * exp(-(x - T)^2 / (2σ^2))
λ = -d/dx P(X > x)
E[X] = T + (σ * ϕ((0 - T) / σ)) / P(X ≤ ∞)

Theorems

Properties of the normal distribution
Standardization of normal random variables

Suitable Grade Level

Undergraduate (Statistics or Probability)