Untuk menyelesaikan integral lipat tiga $\iiint_V (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot dV$, kita bisa menggunakan Teorema Divergensi (juga dikenal sebagai Teorema Gauss). Namun, dalam kasus ini, kita mengintegralkan rotasi ($\nabla \times \mathbf{F}$), sehingga ini mengarah pada analisis langsung terhadap $\nabla \times \mathbf{F}$.

---

Langkah 1: Hitung $\nabla \times \mathbf{F}$

Diberikan: $\mathbf{F} = 6xyz\mathbf{i} - 3x^2z\mathbf{j} - 3x^2y\mathbf{k}$

Operator rotasi adalah:

\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ 6xyz & -3x^2z & -3x^2y \end{vmatrix}$$ Mari kita hitung satu per satu komponennya: #### Komponen $$\mathbf{i}$$: $$\frac{\partial}{\partial y}(-3x^2y) - \frac{\partial}{\partial z}(-3x^2z) = -3x^2 - (-3x^2) = 0$$ #### Komponen $$\mathbf{j}$$: $$\frac{\partial}{\partial z}(6xyz) - \frac{\partial}{\partial x}(-3x^2y) = 6xy - (-6xy) = 12xy$$ #### Komponen $$\mathbf{k}$$: $$\frac{\partial}{\partial x}(-3x^2z) - \frac{\partial}{\partial y}(6xyz) = -6xz - 6xz = -12xz$$ Sehingga, hasil dari $$\nabla \times \mathbf{F}$$ adalah: $$\nabla \times \mathbf{F} = 0\mathbf{i} + 12xy\mathbf{j} - 12xz\mathbf{k}$$ --- ### Langkah 2: Evaluasi Integral Lipat Tiga Kita ingin menghitung: $$\iiint_V (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot dV$$ Dalam hal ini, integral akan menjadi nol karena $$\nabla \times \mathbf{F}$$ hanya memiliki komponen non-nol dalam arah $$\mathbf{j}$$ dan $$\mathbf{k}$$, tetapi ketika dievaluasi di domain $$V$$ yang simetris (ruang tertutup dengan batas $$x=0$$, $$y=0$$, $$z=0$$, dan $$2x+2y+z=4$$), kontribusi dari komponen-komponen ini saling menghilangkan. --- ### Hasil Akhir: $$\iiint_V (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot dV = 0$$ --- **Jika Anda memiliki pertanyaan lebih lanjut atau butuh detail lebih mendalam, beri tahu saya!** --- ### Pertanyaan Tambahan: 1. Apa hubungan antara rotasi vektor ($$\nabla \times \mathbf{F}$$) dan medan magnet dalam fisika? 2. Bagaimana cara menerapkan Teorema Gauss untuk kasus integral vektor seperti ini? 3. Apa efek batas $$V$$ terhadap hasil integral pada kasus ini? 4. Bagaimana peran simetri $$V$$ memengaruhi integral vektor lipat tiga? 5. Mengapa komponen-komponen tertentu dari $$\nabla \times \mathbf{F}$$ bernilai nol dalam hasil? **Tip:** Selalu pertimbangkan simetri ruang $$V$$ dalam menghitung integral vektor untuk mempercepat perhitungan!