اگر $$  $$کتانژانت $$ x $$ برابر با 4 باشد مقدار $$ 3\cos x-\sin x $$ به روی $$ \cos x+\sin x $$ چقدر است؟

فرض کنیم:

$$ \cot x = 4 $$

از تعریف کتانژانت داریم:

$$ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $$

پس می‌توان نوشت:

$$ \frac{\cos x}{\sin x} = 4 $$

بنابراین:

$$ \cos x = 4 \sin x $$

حال، برای پیدا کردن مقادیر $ \cos x $ و $ \sin x $، از رابطه مثلثاتی استفاده می‌کنیم:

$$ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $$

جایگذاری $ \cos x = 4 \sin x $ در این معادله:

$$ (4 \sin x)^2 + \sin^2 x = 1 $$

$$ 16 \sin^2 x + \sin^2 x = 1 $$

$$ 17 \sin^2 x = 1 $$

پس:

$$ \sin^2 x = \frac{1}{17} $$

بنابراین:

$$ \sin x = \frac{1}{\sqrt{17}} $$

و حالا با استفاده از $ \cos x = 4 \sin x $:

$$ \cos x = 4 \times \frac{1}{\sqrt{17}} = \frac{4}{\sqrt{17}} $$

اکنون، مقدار عبارت زیر را محاسبه می‌کنیم:

$$ \frac{3 \cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} $$

با جایگذاری مقادیر $ \cos x $ و $ \sin x $:

$$ \frac{3 \times \frac{4}{\sqrt{17}} - \frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{4}{\sqrt{17}} + \frac{1}{\sqrt{17}}} = \frac{\frac{12}{\sqrt{17}} - \frac{1}{\sqrt{17}}}{\frac{4}{\sqrt{17}} + \frac{1}{\sqrt{17}}} $$

صورت و مخرج را ساده می‌کنیم:

$$ = \frac{\frac{11}{\sqrt{17}}}{\frac{5}{\sqrt{17}}} $$

این عبارت ساده می‌شود:

$$ = \frac{11}{5} $$

بنابراین:

$$ \frac{3 \cos x - \sin x}{\cos x + \sin x} = \frac{11}{5} $$

آیا نیاز به توضیحات بیشتر دارید یا سوالی دارید؟

### سوالات مرتبط:
1. چطور رابطه کتانژانت به دست می‌آید؟
2. چطور از معادله مثلثاتی $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $ استفاده می‌کنیم؟
3. روش ساده کردن کسرها در عبارات مثلثاتی چیست؟
4. چه تفاوتی بین کتانژانت و تانژانت وجود دارد؟
5. چطور از مقادیر $ \sin x $ و $ \cos x $ برای محاسبه دیگر نسبت‌های مثلثاتی استفاده کنیم؟

### نکته:
در هنگام استفاده از نسبت‌های مثلثاتی، همواره به یاد داشته باشید که از هویت‌های مثلثاتی پایه مانند $ \cos^2 x + \sin^2 x = 1 $ بهره ببرید تا مسائل را ساده‌تر حل کنید.

اگر کتانژانت x برابر با 4 باشد مقدار 3\cos x - \sin x به روی \cos x + \sin x چقدر است؟

Learn how to solve a trigonometric problem where cotangent of x equals 4, and calculate the value of (3cos(x) - sin(x)) / (cos(x) + sin(x)). This solution involves key trigonometric concepts such as sine, cosine, cotangent, and Pythagorean identity. Suitable for students in Grades 10-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation