sqrt((cos(x)-1)^2+4)>1-cos(x)-2sin(x). Perché non serve fare i due sistemi ?

Per risolvere l'inequazione \(\sqrt{(\cos(x) - 1)^2 + 4} > 1 - \cos(x) - 2\sin(x)\), possiamo seguire un approccio che ci permette di evitare di trattare il problema come due sistemi separati.

### Passaggi per la soluzione:

1. **Analizziamo l'espressione sotto la radice:**

   \[
   \sqrt{(\cos(x) - 1)^2 + 4}
   \]

   Questa espressione rappresenta la radice quadrata di una somma di quadrati, il che implica che è sempre positiva o nulla. Inoltre, la presenza del \(+4\) garantisce che l'intero termine sotto la radice sia sempre maggiore o uguale a 2, per ogni valore di \(\cos(x)\).

2. **Consideriamo l'inequazione:**

   \[
   \sqrt{(\cos(x) - 1)^2 + 4} > 1 - \cos(x) - 2\sin(x)
   \]

   Siccome la parte sinistra è sempre positiva e la parte destra può assumere sia valori positivi che negativi, possiamo considerare direttamente il confronto tra i valori senza dover fare distinzione tra casi differenti. Non è necessario scomporre l'inequazione in sistemi, perché il membro sinistro (la radice) è ben definito e sempre positivo, mentre il membro destro è una funzione lineare in \(\cos(x)\) e \(\sin(x)\).

3. **Verifica dei segni:**

   - Poiché il termine \(\sqrt{(\cos(x) - 1)^2 + 4}\) è sempre maggiore o uguale a 2, e non può mai essere negativo, possiamo confrontarlo direttamente con la parte destra \(1 - \cos(x) - 2\sin(x)\).
   - Inoltre, poiché \(1 - \cos(x) \geq 0\) e \(-2\sin(x)\) può variare tra \(-2\) e \(2\), l'inequazione potrebbe essere soddisfatta per determinati valori di \(x\) senza bisogno di ulteriori suddivisioni in casi.

4. **Conclusione:**

   Non serve fare i due sistemi perché la radice è sempre positiva e la relazione può essere verificata direttamente senza bisogno di analisi caso per caso. L'inequazione è unitaria e non richiede scomposizioni per essere risolta.

Vuoi ulteriori dettagli o hai qualche domanda?

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**Domande correlate:**

1. Come risolveresti l'inequazione se fosse stata \(\sqrt{(\cos(x) - 1)^2 - 4} > 1 - \cos(x) - 2\sin(x)\)?
2. Qual è l'intervallo dei valori di \(\cos(x)\) per cui \(\sqrt{(\cos(x) - 1)^2 + 4} = 2\)?
3. Come influisce il segno della funzione \(\sin(x)\) sulla risoluzione dell'inequazione?
4. Se avessimo un termine \(\cos^2(x)\) all'interno della radice, come cambierebbe l'approccio?
5. Perché l'inequazione non richiede l'analisi dei segni delle singole componenti?

**Tip:** Quando risolvi un'inequazione con una radice quadrata, è utile analizzare prima il segno e il valore minimo della radice stessa per evitare passaggi superflui.

sqrt((cos(x)-1)^2+4)>1-cos(x)-2sin(x). Perché non serve fare i due sistemi?

Solve the trigonometric inequality sqrt((cos(x)-1)^2+4) > 1-cos(x)-2sin(x) step-by-step. Learn why there is no need for separate case analysis due to the properties of the square root and trigonometric functions. Suitable for advanced high school students in Grades 11-12.

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