sqrt((cos(x) - 1)^2 + 4)>1 - cos(x) - 2 sin(x) risolvi facendo i due sistemi

Per risolvere l'equazione \(\sqrt{(\cos(x) - 1)^2 + 4} > 1 - \cos(x) - 2\sin(x)\), possiamo trasformare il problema in due sistemi distinti.

### Sistema 1: Caso con valore positivo del radicale
Partiamo con la considerazione che la radice quadrata sia positiva, quindi possiamo elevare al quadrato entrambi i membri per eliminare la radice quadrata, con la condizione che \(\sqrt{(\cos(x) - 1)^2 + 4} \geq 0\).

#### Sistema 1:
\[
\begin{cases}
(\cos(x) - 1)^2 + 4 > (1 - \cos(x) - 2\sin(x))^2 \\
\sqrt{(\cos(x) - 1)^2 + 4} \geq 0
\end{cases}
\]

Eleviamo al quadrato entrambi i membri per eliminare la radice:

\[
(\cos(x) - 1)^2 + 4 > (1 - \cos(x) - 2\sin(x))^2
\]

Ora espandiamo entrambi i membri:

- A sinistra:
\[
(\cos(x) - 1)^2 + 4 = \cos^2(x) - 2\cos(x) + 1 + 4 = \cos^2(x) - 2\cos(x) + 5
\]

- A destra:
\[
(1 - \cos(x) - 2\sin(x))^2 = (1 - \cos(x))^2 + 4\sin^2(x) - 4(1 - \cos(x))\sin(x)
\]
Semplificato diventa:
\[
(1 - 2\cos(x) + \cos^2(x)) + 4\sin^2(x) - 4(1 - \cos(x))\sin(x)
\]

Ora risolviamo questa disuguaglianza.

### Sistema 2: Condizioni di non negatività
Affinché la radice quadrata abbia senso, l'espressione all'interno della radice deve essere non negativa.

#### Sistema 2:
\[
(\cos(x) - 1)^2 + 4 \geq 0
\]

Poiché \((\cos(x) - 1)^2\) è sempre non negativo e abbiamo un \(+4\), questa condizione è sempre soddisfatta, quindi non ci sono ulteriori restrizioni da questa parte.

#### Soluzione combinata
A questo punto, risolviamo i due sistemi per trovare i valori di \(x\) che soddisfano entrambe le disuguaglianze. 

Se desideri possiamo procedere con ulteriori dettagli nello sviluppo della disuguaglianza oppure usare un approccio grafico.

Vuoi maggiori dettagli o chiarimenti?  
Ecco 5 domande correlate:

1. Come posso verificare se il valore assoluto di una funzione trigonometrica è maggiore di una costante?
2. Come posso rappresentare graficamente una disuguaglianza trigonometrica?
3. Come funziona l'elevazione al quadrato su entrambi i membri di una disuguaglianza?
4. Quali sono le soluzioni generali delle equazioni con seno e coseno?
5. Come si risolvono le equazioni trigonometriche complesse come questa?

**Tip:** Per equazioni trigonometriche, è utile ricordare le identità come \(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\) per semplificare le espressioni.

sqrt((cos(x) - 1)^2 + 4) > 1 - cos(x) - 2 sin(x) risolvi facendo i due sistemi

This page explains how to solve the trigonometric inequality sqrt((cos(x) - 1)^2 + 4) > 1 - cos(x) - 2sin(x) by breaking it into two systems. Learn key trigonometric concepts, such as using trigonometric identities and square root properties, with step-by-step solutions. Suitable for Grades 11-12.

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