Math Problem Statement

Laske kolmion A (0,1,4) , B (3,1,1) , C(1,2,1) alan tarkka arvo.

Liukuluvut eivät kelpaa, anna tarkka vastaus.

Solution

Kolmion pinta-ala voidaan laskea käyttämällä vektorien ristituloa, kun kolmen pisteen koordinaatit A, B ja C tunnetaan. Pinta-alan tarkka arvo saadaan seuraavalla kaavalla:

Pinta-ala=12AB×AC\text{Pinta-ala} = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} |

Ensimmäiseksi lasketaan vektorit AB\overrightarrow{AB} ja AC\overrightarrow{AC}:

AB=BA=(30,11,14)=(3,0,3)\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 0, 1 - 1, 1 - 4) = (3, 0, -3) AC=CA=(10,21,14)=(1,1,3)\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 0, 2 - 1, 1 - 4) = (1, 1, -3)

Seuraavaksi lasketaan ristitulo AB×AC\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}:

AB×AC=ijk303113\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix}

Ristitulon laskenta:

AB×AC=i(0(3)(3)1)j(3(3)(3)1)+k(3101)\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i}(0 \cdot (-3) - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(3 \cdot (-3) - (-3) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1) =i(0+3)j(9+3)+k(3)= \mathbf{i}(0 + 3) - \mathbf{j}(-9 + 3) + \mathbf{k}(3) =3i+6j+3k= 3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 3\mathbf{k}

Ristitulon suuruus on:

AB×AC=32+62+32=9+36+9=54=36| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | = \sqrt{3^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}

Kolmion pinta-ala on:

Pinta-ala=12×36=362\text{Pinta-ala} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \frac{3\sqrt{6}}{2}

Tarkka pinta-alan arvo on siis:

362\boxed{\frac{3\sqrt{6}}{2}}

Haluatko tarkempia tietoja tai selityksiä?

Tässä 5 lisäkysymystä aiheeseen liittyen:

  1. Miten vektorin ristitulo lasketaan kolmiulotteisessa avaruudessa?
  2. Miten eri vektorien tulot eroavat toisistaan (pistetulo ja ristitulo)?
  3. Mitkä muut menetelmät soveltuvat kolmion pinta-alan laskemiseen eri koordinaatistossa?
  4. Kuinka kolmiulotteisen kolmion tilavuus laskettaisiin?
  5. Voiko kolmion pinta-alan laskea ilman vektoreita ja ristituloa?

Vinkki: Ristitulo antaa vektorin, joka on kohtisuorassa kahta alkuperäistä vektoria vastaan, ja sen suuruus liittyy niiden väliin jäävään alueeseen!

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Calculations
Cross Product
Area of Triangle
3D Geometry

Formulas

Triangle Area = 1/2 |AB × AC|
Vector AB = B - A
Vector AC = C - A
Cross Product Formula

Theorems

Cross Product Theorem

Suitable Grade Level

Grades 10-12