Laske kolmion A (0,1,4)
, B (3,1,1)
, C(1,2,1)
 alan tarkka arvo.

Liukuluvut eivät kelpaa, anna tarkka vastaus.

Kolmion pinta-ala voidaan laskea käyttämällä vektorien ristituloa, kun kolmen pisteen koordinaatit A, B ja C tunnetaan. Pinta-alan tarkka arvo saadaan seuraavalla kaavalla:

\[
\text{Pinta-ala} = \frac{1}{2} | \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} |
\]

Ensimmäiseksi lasketaan vektorit \( \overrightarrow{AB} \) ja \( \overrightarrow{AC} \):

\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (3 - 0, 1 - 1, 1 - 4) = (3, 0, -3)
\]
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (1 - 0, 2 - 1, 1 - 4) = (1, 1, -3)
\]

Seuraavaksi lasketaan ristitulo \( \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \):

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & -3 \\ 1 & 1 & -3 \end{vmatrix}
\]

Ristitulon laskenta:

\[
\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \mathbf{i}(0 \cdot (-3) - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(3 \cdot (-3) - (-3) \cdot 1) + \mathbf{k}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1)
\]
\[
= \mathbf{i}(0 + 3) - \mathbf{j}(-9 + 3) + \mathbf{k}(3)
\]
\[
= 3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} + 3\mathbf{k}
\]

Ristitulon suuruus on:

\[
| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} | = \sqrt{3^2 + 6^2 + 3^2} = \sqrt{9 + 36 + 9} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6}
\]

Kolmion pinta-ala on:

\[
\text{Pinta-ala} = \frac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \frac{3\sqrt{6}}{2}
\]

Tarkka pinta-alan arvo on siis:

\[
\boxed{\frac{3\sqrt{6}}{2}}
\]

Haluatko tarkempia tietoja tai selityksiä? 

Tässä 5 lisäkysymystä aiheeseen liittyen:
1. Miten vektorin ristitulo lasketaan kolmiulotteisessa avaruudessa?
2. Miten eri vektorien tulot eroavat toisistaan (pistetulo ja ristitulo)?
3. Mitkä muut menetelmät soveltuvat kolmion pinta-alan laskemiseen eri koordinaatistossa?
4. Kuinka kolmiulotteisen kolmion tilavuus laskettaisiin?
5. Voiko kolmion pinta-alan laskea ilman vektoreita ja ristituloa?

**Vinkki:** Ristitulo antaa vektorin, joka on kohtisuorassa kahta alkuperäistä vektoria vastaan, ja sen suuruus liittyy niiden väliin jäävään alueeseen!

Laske kolmion A (0,1,4), B (3,1,1), C (1,2,1) alan tarkka arvo. Liukuluvut eivät kelpaa, anna tarkka vastaus.

Learn how to calculate the exact area of a triangle with vertices A (0,1,4), B (3,1,1), and C (1,2,1) using vector cross products. This step-by-step solution is perfect for students in Grades 10-12, covering 3D geometry, vector calculations, and cross product theorems.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation