Ряд Тейлора для $a^x$, где $a > 0$, можно разложить следующим образом:

1. Общая формула ряда Тейлора: $a^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln a)^n}{n!} x^n$ Здесь:

   • $\ln a$ — натуральный логарифм числа $a$,
   • $n!$ — факториал числа $n$,
   • Ряд сходится для всех $x$.

2. Вывод разложения: Это разложение получается, если учесть, что $a^x = e^{x \ln a}$, и применить разложение экспоненты: $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$

3. Примеры:

   • Для $a = e$: $e^x$ разлагается в стандартный ряд Тейлора: $e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$
   • Для $a = 2$: $2^x$ разложится как: $2^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(\ln 2)^n}{n!} x^n.$

Если вам требуется разложение до конкретного порядка, уточните значение $a$ и степень $n$!

---

Хотите больше деталей или примеров?
Вот 5 вопросов, которые могут вас заинтересовать:

1. Как получить ряд Тейлора для других функций?
2. Можно ли использовать ряд Тейлора для численного приближения $a^x$?
3. Как связаны ряды Тейлора с разложением функций вблизи конкретной точки?
4. Как изменится формула, если разложение требуется вокруг другой точки, не $x=0$?
5. Как проверить скорость сходимости ряда Тейлора для $a^x$?

Совет: При численном использовании рядов Тейлора учитывайте порядок разложения: большее $n$ даёт лучшее приближение.