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Löse bitte die Aufgabe für mich. Was muss ich in die freien Felder eintragen?

Die Aufgabe fordert, dass wir das Taylorpolynom zweiter Ordnung für \( f(x) = \ln(x + 1) \) um den Entwicklungspunkt \( a = 0 \) bestimmen und außerdem den zugehörigen Restglied-Ausdruck sowie den absoluten Fehler angeben. Gehen wir Schritt für Schritt vor:

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### **a) Taylorpolynom 2. Ordnung für \( f(x) = \ln(x + 1) \):**

**1. Funktion und ihre Ableitungen berechnen:**

- \( f(x) = \ln(x + 1) \)
- \( f'(x) = \frac{1}{x + 1} \)
- \( f''(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2} \)

**2. Ableitungen im Punkt \( a = 0 \):**

- \( f(0) = \ln(1) = 0 \)
- \( f'(0) = \frac{1}{1} = 1 \)
- \( f''(0) = -\frac{1}{1^2} = -1 \)

**3. Taylorpolynom 2. Ordnung:**
Die allgemeine Formel lautet:
\[
T_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2
\]

Einsetzen der Werte:
\[
T_2(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2
\]
\[
T_2(x) = x - \frac{1}{2}x^2
\]

**Ergebnis für \( T(x) \):**
\[
T(x) = x - \frac{1}{2}x^2
\]

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### **Restglied \( R_3(x) \) nach der Taylorformel:**

Das Restglied der Taylorreihe 2. Ordnung hat die allgemeine Form:
\[
R_3(x) = \frac{f^{(3)}(c)}{3!}(x - a)^3, \quad c \in [a, x]
\]

**Dritte Ableitung von \( f(x) \):**
\[
f^{(3)}(x) = \frac{2}{(x + 1)^3}
\]

Im Restglied ergibt sich damit:
\[
R_3(x) = \frac{f^{(3)}(c)}{6}x^3 = \frac{2}{6(c + 1)^3}x^3 = \frac{1}{3(c + 1)^3}x^3
\]

**Ergebnis für \( R_3(x) \):**
\[
R_3(x) = \frac{1}{3(c + 1)^3}x^3 \quad \text{mit } c \in [0, x]
\]

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### **b) Näherungswert und absoluter Fehler für \( x = 0.5 \):**

**1. Taylorpolynom bei \( x = 0.5 \):**
\[
T(0.5) = 0.5 - \frac{1}{2}(0.5)^2
\]
\[
T(0.5) = 0.5 - \frac{1}{2} \cdot 0.25 = 0.5 - 0.125 = 0.375
\]

**2. Exakter Wert von \( f(0.5) \):**
\[
f(0.5) = \ln(0.5 + 1) = \ln(1.5)
\]

Wert von \( \ln(1.5) \) (auf 2 Nachkommastellen gerundet):
\[
\ln(1.5) \approx 0.41
\]

**3. Absoluter Fehler:**
\[
\text{Fehler} = |f(0.5) - T(0.5)|
\]
\[
\text{Fehler} = |0.41 - 0.375| = 0.035
\]

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### **Ergebnisse für die Felder:**
1. **\( T(x) = x - \frac{1}{2}x^2 \)**  
2. **\( R_3(x) = \frac{1}{3(c + 1)^3}x^3 \)**  
3. **\( T(0.5) = 0.38 \)**  
4. **Absoluter Fehler: \( 0.04 \)** (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

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Hast du weitere Fragen oder möchtest du zusätzliche Erklärungen zu einem der Schritte? 😊

### 5 mögliche Anschlussfragen:
1. Was ist die allgemeine Herleitung der Taylorreihenformel?
2. Wie sieht das Taylorpolynom höherer Ordnung für \( \ln(x+1) \) aus?
3. Was sind typische Anwendungen von Taylorpolynomen in der Praxis?
4. Warum ist der Fehler bei Taylorreihen wichtig, und wie wird er minimiert?
5. Wie verhält sich das Restglied \( R_3(x) \) für größere Werte von \( x \)?

### Tipp:
Wenn du \( x \)-Werte weit entfernt vom Entwicklungspunkt \( a \) berechnest, wird der Fehler größer. Wähle daher \( a \) möglichst nahe an deinem Zielwert!

Solve a detailed problem involving the Taylor polynomial of 2nd order for ln(x+1) around a = 0. Includes derivation of the Taylor polynomial, error formula, and evaluation of results for x = 0.5. Suitable for undergraduate students.

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