Die Aufgabe fordert, dass wir das Taylorpolynom zweiter Ordnung für $f(x) = \ln(x + 1)$ um den Entwicklungspunkt $a = 0$ bestimmen und außerdem den zugehörigen Restglied-Ausdruck sowie den absoluten Fehler angeben. Gehen wir Schritt für Schritt vor:

a) Taylorpolynom 2. Ordnung für $f(x) = \ln(x + 1)$:

1. Funktion und ihre Ableitungen berechnen:

• $f(x) = \ln(x + 1)$
• $f'(x) = \frac{1}{x + 1}$
• $f''(x) = -\frac{1}{(x + 1)^2}$

2. Ableitungen im Punkt $a = 0$:

• $f(0) = \ln(1) = 0$
• $f'(0) = \frac{1}{1} = 1$
• $f''(0) = -\frac{1}{1^2} = -1$

3. Taylorpolynom 2. Ordnung: Die allgemeine Formel lautet: $T_2(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2}x^2$

Einsetzen der Werte: $T_2(x) = 0 + 1 \cdot x + \frac{-1}{2}x^2$ $T_2(x) = x - \frac{1}{2}x^2$

Ergebnis für $T(x)$: $T(x) = x - \frac{1}{2}x^2$

Restglied $R_3(x)$ nach der Taylorformel:

Das Restglied der Taylorreihe 2. Ordnung hat die allgemeine Form: $R_3(x) = \frac{f^{(3)}(c)}{3!}(x - a)^3, \quad c \in [a, x]$

Dritte Ableitung von $f(x)$: $f^{(3)}(x) = \frac{2}{(x + 1)^3}$

Im Restglied ergibt sich damit: $R_3(x) = \frac{f^{(3)}(c)}{6}x^3 = \frac{2}{6(c + 1)^3}x^3 = \frac{1}{3(c + 1)^3}x^3$

Ergebnis für $R_3(x)$: $R_3(x) = \frac{1}{3(c + 1)^3}x^3 \quad \text{mit } c \in [0, x]$

b) Näherungswert und absoluter Fehler für $x = 0.5$:

1. Taylorpolynom bei $x = 0.5$: $T(0.5) = 0.5 - \frac{1}{2}(0.5)^2$ $T(0.5) = 0.5 - \frac{1}{2} \cdot 0.25 = 0.5 - 0.125 = 0.375$

2. Exakter Wert von $f(0.5)$: $f(0.5) = \ln(0.5 + 1) = \ln(1.5)$

Wert von $\ln(1.5)$ (auf 2 Nachkommastellen gerundet): $\ln(1.5) \approx 0.41$

3. Absoluter Fehler: $\text{Fehler} = |f(0.5) - T(0.5)|$ $\text{Fehler} = |0.41 - 0.375| = 0.035$

Ergebnisse für die Felder:

1. $T(x) = x - \frac{1}{2}x^2$
2. $R_3(x) = \frac{1}{3(c + 1)^3}x^3$
3. $T(0.5) = 0.38$
4. Absoluter Fehler: $0.04$ (gerundet auf zwei Nachkommastellen)

Hast du weitere Fragen oder möchtest du zusätzliche Erklärungen zu einem der Schritte? 😊

5 mögliche Anschlussfragen:

1. Was ist die allgemeine Herleitung der Taylorreihenformel?
2. Wie sieht das Taylorpolynom höherer Ordnung für $\ln(x+1)$ aus?
3. Was sind typische Anwendungen von Taylorpolynomen in der Praxis?
4. Warum ist der Fehler bei Taylorreihen wichtig, und wie wird er minimiert?
5. Wie verhält sich das Restglied $R_3(x)$ für größere Werte von $x$?

Tipp:

Wenn du $x$-Werte weit entfernt vom Entwicklungspunkt $a$ berechnest, wird der Fehler größer. Wähle daher $a$ möglichst nahe an deinem Zielwert!