Da bismo izračunali Taylorov polinom trećeg stupnja $T_3(x)$ za funkciju $f(x) = x \ln(x)$ u okolini točke $x = 1$, slijedimo sljedeće korake:

Koraci:

1. Izračunavanje derivacija funkcije $f(x)$:

   • Prva derivacija $f'(x)$
   • Druga derivacija $f''(x)$
   • Treća derivacija $f'''(x)$

2. Taylorov polinom 3. stupnja: Taylorov polinom 3. stupnja u okolini $x = 1$ dat je formulom: $T_3(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{6}(x - 1)^3$

3. Računanje $T_3(1.1)$ i $f(1.1)$ te $|T_3(1.1) - f(1.1)|$.

Derivacije funkcije $f(x) = x \ln(x)$:

1. Prva derivacija: $f'(x) = \ln(x) + 1$

2. Druga derivacija: $f''(x) = \frac{1}{x}$

3. Treća derivacija: $f'''(x) = -\frac{1}{x^2}$

Izračunajmo vrijednosti derivacija u točki $x = 1$:

• $f(1) = 1 \ln(1) = 0$
• $f'(1) = \ln(1) + 1 = 1$
• $f''(1) = \frac{1}{1} = 1$
• $f'''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1$

Taylorov polinom 3. stupnja:

Sada možemo napisati Taylorov polinom: $T_3(x) = 0 + 1(x - 1) + \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{-1}{6}(x - 1)^3$ Odnosno: $T_3(x) = (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{2} - \frac{(x - 1)^3}{6}$

Izračunajmo $T_3(1.1)$:

$T_3(1.1) = (1.1 - 1) + \frac{(1.1 - 1)^2}{2} - \frac{(1.1 - 1)^3}{6}$ $T_3(1.1) = 0.1 + \frac{0.1^2}{2} - \frac{0.1^3}{6}$ $T_3(1.1) = 0.1 + \frac{0.01}{2} - \frac{0.001}{6}$ $T_3(1.1) = 0.1 + 0.005 - 0.0001667 \approx 0.10483$

Izračunajmo $f(1.1)$:

$f(1.1) = 1.1 \ln(1.1)$ $f(1.1) \approx 1.1 \times 0.09531 \approx 0.10484$

Apsolutna razlika:

$|T_3(1.1) - f(1.1)| \approx |0.10483 - 0.10484| = 0.00001$

Kako to riješiti u SageMathu:

Možeš koristiti SageMath na sljedeći način:

pythonCopy code
# Definiramo funkciju
var('x')
f = x * log(x)

# Izračunajmo Taylorov polinom 3. stupnja oko x = 1
T3 = f.taylor(x, 1, 3)
print(T3)

# Izračunamo T3(1.1) i f(1.1)
T3_1_1 = T3.subs(x == 1.1)
f_1_1 = f.subs(x == 1.1)

# Računamo apsolutnu razliku
abs_diff = abs(T3_1_1 - f_1_1)
print(abs_diff)

Ako imaš još pitanja ili želiš detalje, slobodno pitaj!

Relativna pitanja:

1. Kako se Taylorov polinom koristi za aproksimaciju funkcija?
2. Što se događa s točnošću Taylorove aproksimacije kada povećavamo stupanj polinoma?
3. Kako se određuju derivacije za složene funkcije u Taylorovom razvoju?
4. Postoji li razlika između Taylorovog polinoma i Maclaurinovog polinoma?
5. Kako bi izgledala aproksimacija $f(x) = x \ln(x)$ s višim stupnjem Taylorovog polinoma?

Tip:

Kod računa Taylorovih polinoma, veći stupnjevi polinoma pružaju bolju aproksimaciju u širem rasponu, no složenost izračuna također raste.