Napisati Taylorov polinom 3. stupnja 𝑇3(𝑥) za funkciju  𝑓(𝑥) = 𝑥 ln𝑥 u okolini točke 𝑥 = 1. 
     Izračunajte |𝑇3(1.1) − 𝑓(1.1)|. Kako taj zadatak riješim u sage mathu ? 

Da bismo izračunali Taylorov polinom trećeg stupnja \( T_3(x) \) za funkciju \( f(x) = x \ln(x) \) u okolini točke \( x = 1 \), slijedimo sljedeće korake:

### Koraci:

1. **Izračunavanje derivacija funkcije \( f(x) \):**
   - Prva derivacija \( f'(x) \)
   - Druga derivacija \( f''(x) \)
   - Treća derivacija \( f'''(x) \)

2. **Taylorov polinom 3. stupnja:**
   Taylorov polinom 3. stupnja u okolini \( x = 1 \) dat je formulom:
   \[
   T_3(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{6}(x - 1)^3
   \]

3. **Računanje \( T_3(1.1) \) i \( f(1.1) \) te \( |T_3(1.1) - f(1.1)| \).**

### Derivacije funkcije \( f(x) = x \ln(x) \):

1. Prva derivacija:
   \[
   f'(x) = \ln(x) + 1
   \]

2. Druga derivacija:
   \[
   f''(x) = \frac{1}{x}
   \]

3. Treća derivacija:
   \[
   f'''(x) = -\frac{1}{x^2}
   \]

Izračunajmo vrijednosti derivacija u točki \( x = 1 \):

- \( f(1) = 1 \ln(1) = 0 \)
- \( f'(1) = \ln(1) + 1 = 1 \)
- \( f''(1) = \frac{1}{1} = 1 \)
- \( f'''(1) = -\frac{1}{1^2} = -1 \)

### Taylorov polinom 3. stupnja:
Sada možemo napisati Taylorov polinom:
\[
T_3(x) = 0 + 1(x - 1) + \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{-1}{6}(x - 1)^3
\]
Odnosno:
\[
T_3(x) = (x - 1) + \frac{(x - 1)^2}{2} - \frac{(x - 1)^3}{6}
\]

### Izračunajmo \( T_3(1.1) \):
\[
T_3(1.1) = (1.1 - 1) + \frac{(1.1 - 1)^2}{2} - \frac{(1.1 - 1)^3}{6}
\]
\[
T_3(1.1) = 0.1 + \frac{0.1^2}{2} - \frac{0.1^3}{6}
\]
\[
T_3(1.1) = 0.1 + \frac{0.01}{2} - \frac{0.001}{6}
\]
\[
T_3(1.1) = 0.1 + 0.005 - 0.0001667 \approx 0.10483
\]

### Izračunajmo \( f(1.1) \):
\[
f(1.1) = 1.1 \ln(1.1)
\]
\[
f(1.1) \approx 1.1 \times 0.09531 \approx 0.10484
\]

### Apsolutna razlika:
\[
|T_3(1.1) - f(1.1)| \approx |0.10483 - 0.10484| = 0.00001
\]

### Kako to riješiti u SageMathu:

Možeš koristiti SageMath na sljedeći način:

```python
# Definiramo funkciju
var('x')
f = x * log(x)

# Izračunajmo Taylorov polinom 3. stupnja oko x = 1
T3 = f.taylor(x, 1, 3)
print(T3)

# Izračunamo T3(1.1) i f(1.1)
T3_1_1 = T3.subs(x == 1.1)
f_1_1 = f.subs(x == 1.1)

# Računamo apsolutnu razliku
abs_diff = abs(T3_1_1 - f_1_1)
print(abs_diff)
```

Ako imaš još pitanja ili želiš detalje, slobodno pitaj!

### Relativna pitanja:
1. Kako se Taylorov polinom koristi za aproksimaciju funkcija?
2. Što se događa s točnošću Taylorove aproksimacije kada povećavamo stupanj polinoma?
3. Kako se određuju derivacije za složene funkcije u Taylorovom razvoju?
4. Postoji li razlika između Taylorovog polinoma i Maclaurinovog polinoma?
5. Kako bi izgledala aproksimacija \( f(x) = x \ln(x) \) s višim stupnjem Taylorovog polinoma?

### Tip:
Kod računa Taylorovih polinoma, veći stupnjevi polinoma pružaju bolju aproksimaciju u širem rasponu, no složenost izračuna također raste.

Napisati Taylorov polinom 3. stupnja 𝑇3(𝑥) za funkciju 𝑓(𝑥) = 𝑥 ln𝑥 u okolini točke 𝑥 = 1. Izračunajte |𝑇3(1.1) − 𝑓(1.1)|. Kako taj zadatak riješim u sage mathu?

This solution provides a detailed step-by-step process for calculating the 3rd-degree Taylor polynomial T₃(x) of the function f(x) = x ln(x) around x = 1, as well as finding |T₃(1.1) − f(1.1)|. Key concepts include derivatives, Taylor series, and polynomial approximations. Ideal for college or advanced high school students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation