Найти вектор касательной к линии
x
2 = 3y, 2xy = 9z

Чтобы найти вектор касательной к кривой, заданной уравнениями:

1. \( x^2 = 3y \)
2. \( 2xy = 9z \)

находим градиенты этих уравнений и затем пересекаем их.

### Шаг 1: Найдем градиенты обоих уравнений

Для этого сначала представим оба уравнения в форме функций:

\[
F_1(x, y, z) = x^2 - 3y = 0
\]
\[
F_2(x, y, z) = 2xy - 9z = 0
\]

Теперь находим градиенты (векторные производные) этих функций:

- Градиент \( F_1(x, y, z) \) (частные производные по \( x \), \( y \) и \( z \)):

\[
\nabla F_1 = \left( \frac{\partial F_1}{\partial x}, \frac{\partial F_1}{\partial y}, \frac{\partial F_1}{\partial z} \right) = \left( 2x, -3, 0 \right)
\]

- Градиент \( F_2(x, y, z) \):

\[
\nabla F_2 = \left( \frac{\partial F_2}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial y}, \frac{\partial F_2}{\partial z} \right) = \left( 2y, 2x, -9 \right)
\]

### Шаг 2: Находим вектор касательной

Вектор касательной будет перпендикулярен к обоим градиентам. Для нахождения вектора касательной, нужно вычислить векторное произведение этих градиентов:

\[
\mathbf{T} = \nabla F_1 \times \nabla F_2
\]

Вычислим векторное произведение:

\[
\mathbf{T} = \left( 2x, -3, 0 \right) \times \left( 2y, 2x, -9 \right)
\]

Рассчитаем компоненты векторного произведения:

\[
T_x = (-3)(-9) - (0)(2x) = 27
\]
\[
T_y = (0)(2y) - (2x)(-9) = 18x
\]
\[
T_z = (2x)(2x) - (-3)(2y) = 4x^2 + 6y
\]

Таким образом, вектор касательной:

\[
\mathbf{T} = \left( 27, 18x, 4x^2 + 6y \right)
\]

### Ответ

Вектор касательной к линии, заданной уравнениями \( x^2 = 3y \) и \( 2xy = 9z \), имеет вид:

\[
\mathbf{T} = \left( 27, 18x, 4x^2 + 6y \right)
\]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно уточнить решение, не стесняйтесь спрашивать.

---

**5 вопросов для расширения темы:**
1. Как найти вектор касательной для кривых, заданных полярными координатами?
2. Как вычислить кривизну кривой, заданной двумя уравнениями?
3. Что такое вектор нормали и как его найти для поверхности?
4. Как связаны векторы касательной и нормали в трехмерной геометрии?
5. Что такое геодезическая линия на поверхности?

**Совет:** Важно помнить, что для нахождения касательных и нормальных векторов всегда нужно учитывать геометрическую интерпретацию, а не только алгебраическое вычисление.

Найти вектор касательной к линии x^2 = 3y, 2xy = 9z

Learn how to calculate the tangent vector to the curve defined by the equations x^2 = 3y and 2xy = 9z using gradients and cross products. This detailed solution covers key concepts in vector calculus, including gradient and cross product calculations. Suitable for university-level students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation