Чтобы найти вектор касательной к кривой, заданной уравнениями:

1. $x^2 = 3y$
2. $2xy = 9z$

находим градиенты этих уравнений и затем пересекаем их.

Шаг 1: Найдем градиенты обоих уравнений

Для этого сначала представим оба уравнения в форме функций:

$F_1(x, y, z) = x^2 - 3y = 0$ $F_2(x, y, z) = 2xy - 9z = 0$

Теперь находим градиенты (векторные производные) этих функций:

• Градиент $F_1(x, y, z)$ (частные производные по $x$, $y$ и $z$):

$\nabla F_1 = \left( \frac{\partial F_1}{\partial x}, \frac{\partial F_1}{\partial y}, \frac{\partial F_1}{\partial z} \right) = \left( 2x, -3, 0 \right)$

• Градиент $F_2(x, y, z)$:

$\nabla F_2 = \left( \frac{\partial F_2}{\partial x}, \frac{\partial F_2}{\partial y}, \frac{\partial F_2}{\partial z} \right) = \left( 2y, 2x, -9 \right)$

Шаг 2: Находим вектор касательной

Вектор касательной будет перпендикулярен к обоим градиентам. Для нахождения вектора касательной, нужно вычислить векторное произведение этих градиентов:

$\mathbf{T} = \nabla F_1 \times \nabla F_2$

Вычислим векторное произведение:

$\mathbf{T} = \left( 2x, -3, 0 \right) \times \left( 2y, 2x, -9 \right)$

Рассчитаем компоненты векторного произведения:

$T_x = (-3)(-9) - (0)(2x) = 27$ $T_y = (0)(2y) - (2x)(-9) = 18x$ $T_z = (2x)(2x) - (-3)(2y) = 4x^2 + 6y$

Таким образом, вектор касательной:

$\mathbf{T} = \left( 27, 18x, 4x^2 + 6y \right)$

Ответ

Вектор касательной к линии, заданной уравнениями $x^2 = 3y$ и $2xy = 9z$, имеет вид:

$\mathbf{T} = \left( 27, 18x, 4x^2 + 6y \right)$

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно уточнить решение, не стесняйтесь спрашивать.

---

5 вопросов для расширения темы:

1. Как найти вектор касательной для кривых, заданных полярными координатами?
2. Как вычислить кривизну кривой, заданной двумя уравнениями?
3. Что такое вектор нормали и как его найти для поверхности?
4. Как связаны векторы касательной и нормали в трехмерной геометрии?
5. Что такое геодезическая линия на поверхности?

Совет: Важно помнить, что для нахождения касательных и нормальных векторов всегда нужно учитывать геометрическую интерпретацию, а не только алгебраическое вычисление.