Решение задачи:

Рассмотрим множество $A$ с $|A| = 7$. Линейные порядки на $A$ — это отношения, которые являются строгими (антисимметричными, транзитивными и полными) или нестрогими (рефлексивными, антисимметричными, транзитивными и полными).

Определение симметрической разности:

Симметрическая разность двух отношений $R$ и $S$ определяется как множество $R \triangle S = (R \setminus S) \cup (S \setminus R),$ то есть все пары, которые принадлежат только одному из отношений, но не обоим одновременно.

Условие эквивалентности:

Отношение является эквивалентностью, если оно:

1. Рефлексивно: $\forall a \in A, (a, a) \in R$;
2. Симметрично: $\forall a, b \in A, (a, b) \in R \Rightarrow (b, a) \in R$;
3. Транзитивно: $\forall a, b, c \in A, (a, b) \in R \land (b, c) \in R \Rightarrow (a, c) \in R$.

Проверка условий:

1. Рефлексивность:

   • Линейный порядок включает или исключает пары $(a, a)$, в зависимости от того, строгий он или нестрогий.
   • Однако симметрическая разность строгого и нестрогого порядков не гарантирует, что $(a, a) \in R \triangle S$ для всех $a \in A$, так как элементы диагонали могут быть исключены.

2. Симметричность:

   • Симметрическая разность отношений, как правило, не симметрична. Например, если $(a, b) \in R$ и $(a, b) \notin S$, то $(a, b) \in R \triangle S$, но это не гарантирует, что $(b, a) \in R \triangle S$. Это нарушает условие симметричности.

3. Транзитивность:

   • Симметрическая разность двух транзитивных отношений (линейных порядков) в общем случае не транзитивна, так как могут быть пары, которые нарушают транзитивность. Например, если $(a, b) \in R \triangle S$ и $(b, c) \in R \triangle S$, это не означает, что $(a, c) \in R \triangle S$.

Вывод:

Симметрическая разность двух линейных порядков (строгих или нестрогих) не может быть отношением эквивалентности, так как она, как правило:

• не рефлексивна,
• не симметрична,
• не транзитивна.

---

Если остались вопросы или требуется подробное объяснение, напишите!

---

5 вопросов для размышления:

1. Какие свойства симметрической разности отличаются от объединения или пересечения отношений?
2. Почему линейные порядки играют важную роль в теории отношений?
3. Можно ли определить дополнительные условия для симметрической разности, чтобы она стала эквивалентностью?
4. Что изменится, если рассматривать частичные порядки вместо линейных?
5. Как симметрическая разность соотносится с другими бинарными операциями на множествах?

Советы:

Чтобы лучше понять симметрическую разность, попробуйте визуализировать её на малых множествах (например, $A = \{1, 2, 3\}$). Это поможет интуитивно осознать её свойства.