Math Problem Statement

Adjuk meg az A = [3, 2,3], B = [0, 3, 5], C - [5, 0,4), D - [2, 1, 6] paralelogrammán a v(r) = [xy, y^3, xz^2| vektor-vektorfüggényyel megadott vektormezó intergraját, ahol a felületi normális a AB x AC irányába áll.

Solution

Az adott probléma egy vektormező felszíni integráljának kiszámítására vonatkozik egy A,B,C,DA, B, C, D pontok által meghatározott paralelogramma felett. Az alábbiakban lépésről lépésre bemutatom a számítás menetét:


1. A paralelogramma vektoriális ábrázolása:

A pontok koordinátái: [ A = [3, 2, 3], \quad B = [0, 3, 5], \quad C = [5, 0, 4], \quad D = [2, 1, 6]. ]

A paralelogramma alaplapját az A,B,CA, B, C pontok feszítik ki, így a két alapvető irányvektort a következőképpen határozzuk meg: [ \vec{AB} = B - A = [0 - 3, 3 - 2, 5 - 3] = [-3, 1, 2], ] [ \vec{AC} = C - A = [5 - 3, 0 - 2, 4 - 3] = [2, -2, 1]. ]


2. A normálvektor meghatározása:

A paralelogramma felületére merőleges normálvektor: n=AB×AC,\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC}, ahol ×\times a vektoriális szorzat. Számoljuk ki:

undefined

Ask a new question for Free

By Image

Drop file here or Click Here to upload

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Vector Calculus
Surface Integrals
Vector Cross Product
Parametrization of Surfaces

Formulas

Vector cross product: \( \vec{a} \times \vec{b} \)
Surface integral: \( \iint_S \mathbf{v}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{n} \, dS \)
Magnitude of a vector: \( |\mathbf{n}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \)

Theorems

Surface Integral Theorem
Properties of the Cross Product

Suitable Grade Level

Undergraduate Mathematics or Physics