A képen szereplő feladat egy felületi integrált kér, amelyben a vektor-vektorfüggvénnyel megadott vektormező integrálját kell kiszámolni a megadott irányú felületre. Kezdjük az alapvető lépésekkel:

1. Pontok és vektorok meghatározása:

   • $A = [1, 3, 1]$,
   • $B = [0, 6, 4]$,
   • $C = [0, 0, 2]$,
   • $D = [-1, 3, 5]$.

   Két irányvektor:

   • $\vec{AB} = B - A = [0 - 1, 6 - 3, 4 - 1] = [-1, 3, 3]$,
   • $\vec{AC} = C - A = [0 - 1, 0 - 3, 2 - 1] = [-1, -3, 1]$.

2. Normálvektor számítása: A $\vec{AB} \times \vec{AC}$ vektoriális szorzattal:

   undefined

3. Paraméterezés: A $ABCD$ paralelogramma felülete két paraméterrel (pl. $s$ és $t$) írható fel: $\mathbf{r}(s, t) = A + s\vec{AB} + t\vec{AC}, \quad s, t \in [0, 1].$

4. Felület normálisa és differenciális felületvektor ($d\mathbf{S}$): $d\mathbf{S} = (\vec{AB} \times \vec{AC}) \, ds \, dt.$

   Így a felületi integrál: $\iint_S \mathbf{v}(\mathbf{r}) \cdot \vec{n} \, dS = \iint_S \mathbf{v}(\mathbf{r}) \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC}) \, ds \, dt.$

5. Vektormező helyettesítése: A $\mathbf{v}(\mathbf{r}) = [x \cdot y, y^3, x^2 \cdot z]$. Ezt behelyettesítjük a paraméterezett felület $x(s, t), y(s, t), z(s, t)$ koordinátáival.

Kiszámoljam a pontos integrál végét? Ha szükséges, részletezhetjük az egyes lépéseket.