השאלה מתמקדת בחישוב אלמנטי השטח במערכות קואורדינטות שונות. בוא נפרט ונסביר כל חלק:

א. מטפת קוביה בעלת אורך a:

• נדרש לחשב את אלמנט השטח של קובייה בצירופים בין $x$, $y$, $z$. השטח הבסיסי של כל פנים ניתן על ידי מכפלת שני צירים:
  • למשל: $dA = dx \cdot dy$, כאשר המשטח מאונך לציר $z$.

ב. פי כדור ברדיוס $R$:

• במערכת כדורית, אלמנט השטח מיוצג כתלות בקואורדינטות $\theta, \phi$.
  • הנוסחה לאלמנט שטח היא: $dA = R^2 \sin \theta \, d\theta \, d\phi$ כאשר:
  • $\theta$ הוא הזווית הקוטבית (Polar angle).
  • $\phi$ הוא הזווית האזימוטלית (Azimuthal angle).

ג. משטח $\phi = \alpha$ במרחב התלת-מימדי:

• מדובר בזווית קבועה, כך שנבחר משטח מאונך או שטוח בתלות בקואורדינטות הנתונות. אלמנט השטח יתבסס על הקואורדינטות הנותרות והנגזרות שלהן.

אשמח לדעת אם תרצה פתרון מפורט, חישובים מספריים או הדגמה נוספת.

שאלות להרחבה:

1. מהי הנוסחה המדויקת לאלמנט שטח במערכת קואורדינטות גליליות?
2. כיצד מחשבים שטח של משטח עקום כלשהו לפי מטריקה נתונה?
3. מה היתרון בשימוש בקואורדינטות כדוריות או גליליות עבור בעיות פיזיקליות?
4. כיצד ניתן להכליל את אלמנט השטח במקרה של רדיוס משתנה?
5. איך אלמנטי השטח משתנים עם שינוי זוויות בקואורדינטות כדוריות?

טיפ:

תמיד וודא שאתה בוחר את מערכת הקואורדינטות שמתאימה ביותר לסימטריה של הבעיה כדי לפשט את החישובים.