Nous avons la somme suivante :

$S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2$

Calcul de $S_1$, $S_2$ et $S_3$

• $S_1 = 1^2 = 1$
• $S_2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
• $S_3 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$

Expression de $S_{n+1}$ en fonction de $S_n$

On remarque que $S_n$ est la somme des carrés des $n$ premiers entiers, donc pour passer de $S_n$ à $S_{n+1}$, on ajoute simplement $(n+1)^2$ à la somme précédente :

$S_{n+1} = S_n + (n+1)^2$

Cela donne une relation de récurrence qui permet de calculer $S_n$ pour n'importe quel $n$.

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour aller plus loin :

1. Comment généraliser la somme $S_n$ pour de grandes valeurs de $n$ ?
2. Comment dériver une formule explicite pour $S_n$ sans utiliser de récurrence ?
3. Quelles sont les propriétés des sommes de carrés ?
4. Quelle est l'utilisation des sommes de carrés dans les statistiques ?
5. Comment peut-on utiliser cette somme pour approximer des intégrales ?

Tip : La somme des carrés des premiers entiers peut être calculée explicitement avec la formule $S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$.