On pose Sn = 1² +2² +3³+...+n² avec n >= 1. Calculer S1 S2 S3. Exprimer Sn+1 en fonction de Sn

Nous avons la somme suivante :

\[
S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2
\]

### Calcul de \( S_1 \), \( S_2 \) et \( S_3 \)

- \( S_1 = 1^2 = 1 \)
- \( S_2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5 \)
- \( S_3 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14 \)

### Expression de \( S_{n+1} \) en fonction de \( S_n \)

On remarque que \( S_n \) est la somme des carrés des \( n \) premiers entiers, donc pour passer de \( S_n \) à \( S_{n+1} \), on ajoute simplement \( (n+1)^2 \) à la somme précédente :

\[
S_{n+1} = S_n + (n+1)^2
\]

Cela donne une relation de récurrence qui permet de calculer \( S_n \) pour n'importe quel \( n \).

Voulez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici 5 questions pour aller plus loin :
1. Comment généraliser la somme \( S_n \) pour de grandes valeurs de \( n \) ?
2. Comment dériver une formule explicite pour \( S_n \) sans utiliser de récurrence ?
3. Quelles sont les propriétés des sommes de carrés ?
4. Quelle est l'utilisation des sommes de carrés dans les statistiques ?
5. Comment peut-on utiliser cette somme pour approximer des intégrales ?

**Tip** : La somme des carrés des premiers entiers peut être calculée explicitement avec la formule \( S_n = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \).

On pose Sn = 1² + 2² + 3² + ... + n² avec n >= 1. Calculer S1 S2 S3. Exprimer Sn+1 en fonction de Sn

Learn how to calculate the sum of squares S1, S2, and S3, and express Sn+1 in terms of Sn using recurrence relations. Explore key mathematical concepts like the summation of squares and related formulas. Suitable for Grades 9-12 students.

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