Чтобы найти сумму ряда $(1 - x^2)^{n+1}/(n+1)$ с использованием теоремы о дифференцировании, следуем следующим шагам:

1. Рассмотрим функцию $S(x) = \frac{(1 - x^2)^{n+1}}{n+1}$.

2. Для упрощения работы, представим разложение $(1 - x^2)^{n+1}$ в ряд Тейлора около $x = 0$: $(1 - x^2)^{n+1} = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \binom{n+1}{k} x^{2k},$ где $\binom{n+1}{k}$ — биномиальный коэффициент.

3. Тогда $S(x)$ запишется в виде: $S(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{n+1} \binom{n+1}{k} x^{2k}.$

Проверка формулы через дифференцирование

Теорема о дифференцировании утверждает, что если известен ряд функции $f(x)$, то дифференцирование ряда можно проводить почленно. В данном случае:

1. Найдем производную $S'(x)$ для проверки: $S'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{(1 - x^2)^{n+1}}{n+1}\right) = -\frac{2x(n+1)(1 - x^2)^n}{n+1} = -2x(1 - x^2)^n.$

2. Для ряда $S(x)$, после почленного дифференцирования: $S'(x) = \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k \cdot 2k}{n+1} \binom{n+1}{k} x^{2k-1}.$

3. Сравнение левой и правой частей подтверждает корректность ряда.

Ответ:

Сумма ряда: $S(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{n+1} \binom{n+1}{k} x^{2k}.$

---

Если хотите более подробное объяснение или другие примеры применения теоремы, уточните!

Вопросы для размышления:

1. Как использовать биномиальные коэффициенты в других разложениях рядов?
2. В каких случаях теорема о дифференцировании рядов упрощает вычисления?
3. Какие ограничения накладываются на $x$ при разложении $(1 - x^2)^{n+1}$?
4. Каково значение суммы ряда при конкретных значениях $x$?
5. Как использовать это разложение для аппроксимации?

Совет: При работе с бесконечными рядами всегда проверяйте радиус сходим