Soit n un entier naturel non nul et
Un =1+3+5+7+••+(2-1)
1. Calculer u1, U2, Из, И4
2. Conjecturer une expression simple de un en fonction de n puis démontrer cette conjecture par récurrence.

Soit \( n \) un entier naturel non nul, et soit la suite \( U_n \) définie comme la somme des \( n \) premiers nombres impairs :

\[
U_n = 1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2n - 1)
\]

### 1. Calcul des premiers termes \( U_1 \), \( U_2 \), \( U_3 \), \( U_4 \)

- \( U_1 \) : Il s'agit de la somme du premier nombre impair :
  \[
  U_1 = 1
  \]

- \( U_2 \) : Il s'agit de la somme des deux premiers nombres impairs :
  \[
  U_2 = 1 + 3 = 4
  \]

- \( U_3 \) : Il s'agit de la somme des trois premiers nombres impairs :
  \[
  U_3 = 1 + 3 + 5 = 9
  \]

- \( U_4 \) : Il s'agit de la somme des quatre premiers nombres impairs :
  \[
  U_4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16
  \]

### 2. Conjecture d'une expression simple de \( U_n \) en fonction de \( n \)

En observant les valeurs des premiers termes :
\[
U_1 = 1^2, \quad U_2 = 2^2, \quad U_3 = 3^2, \quad U_4 = 4^2
\]
On peut conjecturer que :
\[
U_n = n^2
\]

### 3. Démonstration par récurrence de la conjecture

**Initialisation** : Montrons que la propriété est vraie pour \( n = 1 \).

Pour \( n = 1 \), on a :
\[
U_1 = 1 = 1^2
\]
La propriété est donc vraie au rang \( n = 1 \).

**Hérédité** : Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier \( n = k \), c'est-à-dire :
\[
U_k = k^2
\]
Montrons qu'elle est aussi vraie pour \( n = k+1 \).

On sait que :
\[
U_{k+1} = U_k + (2(k+1) - 1)
\]
Or, d'après l'hypothèse de récurrence, \( U_k = k^2 \), donc :
\[
U_{k+1} = k^2 + (2(k+1) - 1) = k^2 + (2k + 1)
\]
Mais :
\[
k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2
\]
On a donc montré que \( U_{k+1} = (k+1)^2 \), ce qui termine la démonstration de l'hérédité.

**Conclusion** : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout \( n \in \mathbb{N}^* \), c'est-à-dire :
\[
U_n = n^2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}^*.
\]

---

Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions liées pour approfondir :
1. Comment peut-on dériver la somme des nombres impairs sans utiliser la récurrence ?
2. Pourquoi les nombres impairs sont-ils liés aux carrés des entiers ?
3. Quelle est la somme des \( n \) premiers nombres pairs, et comment se compare-t-elle à celle des nombres impairs ?
4. Comment généraliser cette somme pour des suites d'autres types de nombres ?
5. Comment calculer directement \( U_n \) si on connaît une expression pour la somme des premiers nombres impairs ?

**Tip** : La somme des \( n \) premiers nombres impairs est une technique utile pour retrouver rapidement des carrés parfaits.

Soit n un entier naturel non nul et Un =1+3+5+7+••+(2-1) 1. Calculer u1, U2, U3, U4 2. Conjecturer une expression simple de un en fonction de n puis démontrer cette conjecture par récurrence.

Explore the sum of the first n odd numbers and learn how to calculate the sum for initial values. Discover how to conjecture a simple formula and prove it using mathematical induction. Suitable for students in Grades 9-12.

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