Soit $n$ un entier naturel non nul, et soit la suite $U_n$ définie comme la somme des $n$ premiers nombres impairs :

$U_n = 1 + 3 + 5 + 7 + \dots + (2n - 1)$

1. Calcul des premiers termes $U_1$, $U_2$, $U_3$, $U_4$

• $U_1$ : Il s'agit de la somme du premier nombre impair : $U_1 = 1$

• $U_2$ : Il s'agit de la somme des deux premiers nombres impairs : $U_2 = 1 + 3 = 4$

• $U_3$ : Il s'agit de la somme des trois premiers nombres impairs : $U_3 = 1 + 3 + 5 = 9$

• $U_4$ : Il s'agit de la somme des quatre premiers nombres impairs : $U_4 = 1 + 3 + 5 + 7 = 16$

2. Conjecture d'une expression simple de $U_n$ en fonction de $n$

En observant les valeurs des premiers termes : $U_1 = 1^2, \quad U_2 = 2^2, \quad U_3 = 3^2, \quad U_4 = 4^2$ On peut conjecturer que : $U_n = n^2$

3. Démonstration par récurrence de la conjecture

Initialisation : Montrons que la propriété est vraie pour $n = 1$.

Pour $n = 1$, on a : $U_1 = 1 = 1^2$ La propriété est donc vraie au rang $n = 1$.

Hérédité : Supposons que la propriété est vraie pour un certain entier $n = k$, c'est-à-dire : $U_k = k^2$ Montrons qu'elle est aussi vraie pour $n = k+1$.

On sait que : $U_{k+1} = U_k + (2(k+1) - 1)$ Or, d'après l'hypothèse de récurrence, $U_k = k^2$, donc : $U_{k+1} = k^2 + (2(k+1) - 1) = k^2 + (2k + 1)$ Mais : $k^2 + 2k + 1 = (k + 1)^2$ On a donc montré que $U_{k+1} = (k+1)^2$, ce qui termine la démonstration de l'hérédité.

Conclusion : Par récurrence, la propriété est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, c'est-à-dire : $U_n = n^2 \quad \text{pour tout } n \in \mathbb{N}^*.$

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Souhaitez-vous des détails supplémentaires ou avez-vous des questions ?

Voici quelques questions liées pour approfondir :

1. Comment peut-on dériver la somme des nombres impairs sans utiliser la récurrence ?
2. Pourquoi les nombres impairs sont-ils liés aux carrés des entiers ?
3. Quelle est la somme des $n$ premiers nombres pairs, et comment se compare-t-elle à celle des nombres impairs ?
4. Comment généraliser cette somme pour des suites d'autres types de nombres ?
5. Comment calculer directement $U_n$ si on connaît une expression pour la somme des premiers nombres impairs ?

Tip : La somme des $n$ premiers nombres impairs est une technique utile pour retrouver rapidement des carrés parfaits.