একটি সমান্তর ধারার প্রথম 12 পদের সমষ্টি 144 এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি 560 হলে, এর প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় কর।

প্রথম 12 পদের সমষ্টি \( S_{12} \) এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি \( S_{20} \) থেকে সমান্তর ধারার প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় করা যাক।

ধরা যাক, সমান্তর ধারার প্রথম পদ \( a \) এবং পার্থক্য \( d \)।

সাধারণত, \( n \) পদ পর্যন্ত একটি সমান্তর ধারার সমষ্টি \( S_n \) দেওয়া হয়:
\[
S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right)
\]
প্রথম 12 পদের জন্য:
\[
S_{12} = \frac{12}{2} \left( 2a + 11d \right)
\]
এবং \( S_{12} = 144 \), তাই:
\[
144 = 6 \left( 2a + 11d \right)
\]
\[
2a + 11d = 24 \quad \text{(i)}
\]

প্রথম 20 পদের জন্য:
\[
S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2a + 19d \right)
\]
এবং \( S_{20} = 560 \), তাই:
\[
560 = 10 \left( 2a + 19d \right)
\]
\[
2a + 19d = 56 \quad \text{(ii)}
\]

এখন, সমীকরণ (i) এবং (ii) থেকে \( 2a \) এবং \( d \)-এর মান নির্ণয় করতে পারি। 

দুটি সমীকরণকে বিয়োগ করলে:
\[
(2a + 19d) - (2a + 11d) = 56 - 24
\]
\[
8d = 32
\]
\[
d = 4
\]

এখন \( d = 4 \) কে সমীকরণ (i)-তে প্রতিস্থাপন করলে:
\[
2a + 11(4) = 24
\]
\[
2a + 44 = 24
\]
\[
2a = 24 - 44 = -20
\]
\[
a = -10
\]

এখন, প্রথম 6 পদের সমষ্টি \( S_6 \) হবে:
\[
S_6 = \frac{6}{2} \left( 2a + 5d \right)
\]
\[
S_6 = 3 \left( 2(-10) + 5(4) \right)
\]
\[
S_6 = 3 \left( -20 + 20 \right) = 3(0) = 0
\]

অতএব, প্রথম 6 পদের সমষ্টি \( S_6 = 0 \)।

আপনার কি কোনো প্রশ্ন আছে অথবা আরও বিস্তারিত ব্যাখ্যা প্রয়োজন? 

### সম্পর্কিত ৫টি প্রশ্ন:
1. সমান্তর ধারার সাধারণ রূপটি কীভাবে নির্ণয় করা হয়?
2. সমান্তর ধারার \(n\)-তম পদ কীভাবে বের করতে হয়?
3. \( S_n = 0 \) মানে ধারাটি কী বোঝায়?
4. ধারার সমষ্টির সূত্র কিসের উপর নির্ভর করে?
5. প্রথম 6 পদের সমষ্টি কেন শূন্য হতে পারে?

### টিপ:
ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করার সময় \(n\)-এর মান এবং ধারার ধরণ পরিষ্কারভাবে বোঝা জরুরি।

Find the sum of the first 6 terms of an arithmetic sequence where the sum of the first 12 terms is 144 and the sum of the first 20 terms is 560. This problem involves using the sum formula for arithmetic sequences and solving simultaneous equations. Suitable for students in Grades 9-12.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation