প্রথম 12 পদের সমষ্টি $S_{12}$ এবং প্রথম 20 পদের সমষ্টি $S_{20}$ থেকে সমান্তর ধারার প্রথম 6 পদের সমষ্টি নির্ণয় করা যাক।

ধরা যাক, সমান্তর ধারার প্রথম পদ $a$ এবং পার্থক্য $d$।

সাধারণত, $n$ পদ পর্যন্ত একটি সমান্তর ধারার সমষ্টি $S_n$ দেওয়া হয়: $S_n = \frac{n}{2} \left( 2a + (n-1)d \right)$ প্রথম 12 পদের জন্য: $S_{12} = \frac{12}{2} \left( 2a + 11d \right)$ এবং $S_{12} = 144$, তাই: $144 = 6 \left( 2a + 11d \right)$ $2a + 11d = 24 \quad \text{(i)}$

প্রথম 20 পদের জন্য: $S_{20} = \frac{20}{2} \left( 2a + 19d \right)$ এবং $S_{20} = 560$, তাই: $560 = 10 \left( 2a + 19d \right)$ $2a + 19d = 56 \quad \text{(ii)}$

এখন, সমীকরণ (i) এবং (ii) থেকে $2a$ এবং $d$-এর মান নির্ণয় করতে পারি।

দুটি সমীকরণকে বিয়োগ করলে: $(2a + 19d) - (2a + 11d) = 56 - 24$ $8d = 32$ $d = 4$

এখন $d = 4$ কে সমীকরণ (i)-তে প্রতিস্থাপন করলে: $2a + 11(4) = 24$ $2a + 44 = 24$ $2a = 24 - 44 = -20$ $a = -10$

এখন, প্রথম 6 পদের সমষ্টি $S_6$ হবে: $S_6 = \frac{6}{2} \left( 2a + 5d \right)$ $S_6 = 3 \left( 2(-10) + 5(4) \right)$ $S_6 = 3 \left( -20 + 20 \right) = 3(0) = 0$

অতএব, প্রথম 6 পদের সমষ্টি $S_6 = 0$।

আপনার কি কোনো প্রশ্ন আছে অথবা আরও বিস্তারিত ব্যাখ্যা প্রয়োজন?

সম্পর্কিত ৫টি প্রশ্ন:

1. সমান্তর ধারার সাধারণ রূপটি কীভাবে নির্ণয় করা হয়?
2. সমান্তর ধারার $n$-তম পদ কীভাবে বের করতে হয়?
3. $S_n = 0$ মানে ধারাটি কী বোঝায়?
4. ধারার সমষ্টির সূত্র কিসের উপর নির্ভর করে?
5. প্রথম 6 পদের সমষ্টি কেন শূন্য হতে পারে?

টিপ:

ধারার সমষ্টি নির্ণয়ের সূত্র ব্যবহার করার সময় $n$-এর মান এবং ধারার ধরণ পরিষ্কারভাবে বোঝা জরুরি।