Задачата изисква да намерим сумата от дължините на двете къси дъги, които свързват общите точки на две окръжности, като разстоянието между техните центрове е 6 см, а радиусите на окръжностите са R = 5 см и r = 2 см.

Стъпка 1: Разстояние между центровете на окръжностите

Разстоянието между центровете на двете окръжности е дадено като 6 см.

Стъпка 2: Използване на теорема за общите точки

Двете окръжности имат две общи точки, като разстоянието между техните центрове е 6 см, а радиусите им са R = 5 см и r = 2 см.

За да намерим дължината на късата дъга на всяка окръжност, можем да използваме геометричния факт, че разстоянието между центровете и радиусите ще формира равнобедрени триъгълници с основи, равни на разстоянието между центровете на окръжностите и височини, които съответстват на радиусите на окръжностите.

Стъпка 3: Използване на формулата за дължината на дъга

Дължината на дъга на всяка окръжност, свързваща общите точки, може да се изчисли чрез ъгъла между линията, свързваща центровете на окръжностите, и линиите към общите точки. Този ъгъл може да се намери чрез косинусова теорема.

Формула за ъгъл на междуцентровото разстояние:

$\cos(\theta) = \frac{R^2 + d^2 - r^2}{2Rd}$ където $R$ е радиусът на по-голямата окръжност, $r$ е радиусът на по-малката окръжност, а $d$ е разстоянието между центровете на окръжностите.

В нашия случай: $R = 5 \, \text{см}, \quad r = 2 \, \text{см}, \quad d = 6 \, \text{см}$ Нека изчислим ъгъла на всяка окръжност.

След това можем да изчислим дължината на дъгата за всяка окръжност, като използваме следната формула за дължината на дъга: $l = R\theta \quad (\text{за по-голямата окръжност}) \quad \text{и} \quad l = r\theta \quad (\text{за по-малката окръжност})$

Това ще ни даде дължините на късите дъги и тяхната сума.

Ще изчисля тези стойности за теб. math

Дадени стойности

R = 5 # Радиус на по-голямата окръжност (в см) r = 2 # Радиус на по-малката окръжност (в см) d = 6 # Разстояние между центровете на окръжностите (в см)

Изчисляваме ъгъла между радиусите за по-голямата окръжност

cos_theta_large = (R2 + d2 - r**2) / (2 * R * d) theta_large = math.acos(cos_theta_large)

Изчисляваме ъгъла за по-малката окръжност

cos_theta_small = (r2 + d2 - R**2) / (2 * r * d) theta_small = math.acos(cos_theta_small)

Дължината на дъгата за всяка окръжност

arc_length_large = R * theta_large arc_length_small = r * theta_small

Сумата от дължините на двете къси дъги

total_arc_length = arc_length_large + arc_length_small total_arc_lengthСумата от дължините на двете къси дъги, които свързват общите точки на двете окръжности, е приблизително 3.38 см.

Ако имаш допълнителни въпроси или искаш да разгледаш детайлите по изчисленията, не се колебай да питаш!

Допълнителни въпроси:

1. Каква е разликата между късите и дългите дъги на две окръжности?
2. Как може да се изчисли площта на областта, ограничена от двете окръжности?
3. Какъв е ъгълът между радиусите на двете окръжности в тази ситуация?
4. Какви са възможните геометрични конфигурации между две окръжности с различни радиуси?
5. Как се използва косинусовата теорема в задачи с две окръжности?

Tip:

Запомни, че когато имаш две окръжности с общи точки, разстоянието между центровете е важно, за да можеш да изчислиш ъглите и дължините на дъгите.