Для решения задачи воспользуемся свойствами геометрической прогрессии.

Обозначим первый член прогрессии за $a$, а знаменатель прогрессии за $q$. Тогда $n$-й член геометрической прогрессии можно выразить как:

$a_n = a \cdot q^{n-1}$

Дано:

1. Пятый член больше третьего на 36: $a_5 - a_3 = 36$ То есть: $a \cdot q^4 - a \cdot q^2 = 36$ Вынесем $a$ за скобки: $a \cdot (q^4 - q^2) = 36$

2. Седьмой член больше третьего на 100: $a_7 - a_3 = 100$ То есть: $a \cdot q^6 - a \cdot q^2 = 100$ Вынесем $a$ за скобки: $a \cdot (q^6 - q^2) = 100$

Теперь у нас есть система из двух уравнений: $a \cdot (q^4 - q^2) = 36 \quad \text{(1)}$ $a \cdot (q^6 - q^2) = 100 \quad \text{(2)}$

Решим систему:

1. Разделим уравнение (2) на уравнение (1): $\frac{a \cdot (q^6 - q^2)}{a \cdot (q^4 - q^2)} = \frac{100}{36}$ Упростим: $\frac{q^6 - q^2}{q^4 - q^2} = \frac{25}{9}$ Вынесем общий множитель $q^2$ в числителе и знаменателе: $\frac{q^2 \cdot (q^4 - 1)}{q^2 \cdot (q^2 - 1)} = \frac{25}{9}$ Сократим $q^2$: $\frac{q^4 - 1}{q^2 - 1} = \frac{25}{9}$ Разделим числитель и знаменатель на $q^2 - 1$, получим: $q^2 + 1 = \frac{25}{9}$ Решим это: $q^2 + 1 = \frac{25}{9}$ $q^2 = \frac{25}{9} - 1 = \frac{16}{9}$ Следовательно, $q = \frac{4}{3}$.

Находим $a$:

Подставим $q = \frac{4}{3}$ в уравнение (1): $a \cdot \left( \left(\frac{4}{3}\right)^4 - \left(\frac{4}{3}\right)^2 \right) = 36$ Вычислим степени: $\left( \frac{4}{3} \right)^4 = \frac{256}{81}, \quad \left( \frac{4}{3} \right)^2 = \frac{16}{9}$ Подставим это в уравнение: $a \cdot \left( \frac{256}{81} - \frac{16}{9} \right) = 36$ Приведем к общему знаменателю: $\frac{16}{9} = \frac{144}{81}, \quad \frac{256}{81} - \frac{144}{81} = \frac{112}{81}$ Тогда: $a \cdot \frac{112}{81} = 36$ Умножим обе стороны на $\frac{81}{112}$: $a = 36 \cdot \frac{81}{112} = \frac{2916}{112} = 26.125$

Сумма первых 6 членов:

Сумма первых $n$-членов геометрической прогрессии рассчитывается по формуле: $S_n = a \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}, \quad \text{если} \quad q \neq 1$ Для 6 членов: $S_6 = 26.125 \cdot \frac{1 - \left( \frac{4}{3} \right)^6}{1 - \frac{4}{3}}$ Вычислим $\left( \frac{4}{3} \right)^6 = \frac{4096}{729}$: $S_6 = 26.125 \cdot \frac{1 - \frac{4096}{729}}{-\frac{1}{3}} = 26.125 \cdot \frac{\frac{729}{729} - \frac{4096}{729}}{-\frac{1}{3}} = 26.125 \cdot \frac{-\frac{3367}{729}}{-\frac{1}{3}}$ Упростим: $S_6 = 26.125 \cdot 3 \cdot \frac{3367}{729} = 78.375 \cdot \frac{3367}{729} \approx 36.93$

Ответ:

Сумма первых 6 членов геометрической прогрессии приблизительно равна 36.93.

---

Если у вас есть вопросы или вам нужны дополнительные пояснения, дайте знать!

Вот несколько вопросов, которые могут вас заинтересовать:

1. Как получить выражение для общего члена геометрической прогрессии?
2. Что происходит с суммой членов геометрической прогрессии при изменении знаменателя?
3. Как использовать формулу для суммы бесконечной геометрической прогрессии?
4. Как решить систему уравнений с несколькими переменными для прогрессий?
5. Как можно узнать, является ли последовательность геометрической прогрессией?

Совет: Важно всегда внимательно следить за знаками и дробями, особенно в алгебраических вычислениях, чтобы избежать ошибок.