La question demande si l'ensemble des fonctions paires $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ est un sous-espace vectoriel de $F(\mathbb{R}, \mathbb{R})$, l'ensemble des fonctions réelles à valeurs réelles.

Une fonction est dite paire si, pour tout $x \in \mathbb{R}$, elle satisfait la condition $f(-x) = f(x)$. L'ensemble des fonctions paires est noté :

$\{ f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(-x) = f(x) \ \forall x \in \mathbb{R} \}$

Pour qu'un sous-ensemble de $F(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ soit un sous-espace vectoriel, il doit vérifier trois conditions :

1. L'élément neutre (ici, la fonction nulle $f(x) = 0$) doit appartenir à cet ensemble.
2. La fermeture sous l'addition : Si $f_1$ et $f_2$ sont deux fonctions paires, alors leur somme $(f_1 + f_2)$ doit aussi être une fonction paire.
3. La fermeture sous la multiplication scalaire : Si $f$ est une fonction paire et $\lambda$ est un scalaire, alors la fonction $\lambda f$ doit aussi être une fonction paire.

Voyons chaque condition :

1. La fonction nulle $f(x) = 0$ est clairement paire, car $f(-x) = 0 = f(x)$.
2. Si $f_1$ et $f_2$ sont deux fonctions paires, cela signifie que $f_1(-x) = f_1(x)$ et $f_2(-x) = f_2(x)$. Pour la somme, on a : $(f_1 + f_2)(-x) = f_1(-x) + f_2(-x) = f_1(x) + f_2(x) = (f_1 + f_2)(x)$ Donc, la somme de deux fonctions paires est aussi paire.
3. Si $f$ est une fonction paire et $\lambda$ est un scalaire, alors pour tout $x$, $(\lambda f)(-x) = \lambda f(-x) = \lambda f(x) = (\lambda f)(x)$ Donc, la multiplication par un scalaire conserve la propriété de paire.

Puisque toutes ces conditions sont vérifiées, l'ensemble des fonctions paires est bien un sous-espace vectoriel de $F(\mathbb{R}, \mathbb{R})$.

Réponse : Vrai

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Si vous souhaitez plus de détails ou des exemples supplémentaires, n'hésitez pas à demander !

Voici cinq questions relatives :

1. Pourquoi l'élément neutre dans un espace vectoriel doit-il être dans l'ensemble ?
2. Quelle est la différence entre une fonction paire et une fonction impaire ?
3. Comment déterminer si une fonction est paire ou impaire ?
4. Qu'est-ce qu'un espace vectoriel en termes simples ?
5. Peut-on définir un sous-espace vectoriel dans un espace de fonctions qui ne sont pas nécessairement réelles ?

Astuce : Quand vous travaillez avec des espaces vectoriels de fonctions, rappelez-vous que la fermeture sous addition et multiplication scalaire sont les deux conditions essentielles à vérifier.