Math Problem Statement
Sei (G, ∗) eine Gruppe und A ⊂ G eine Teilmenge. Betrachten Sie die TeilmengehAi = {a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ an|n ∈ N, ∀i : ai ∈ A ∨ ai −1∈ A} ⊂ G.Für n = 0 ist das „leere“ Produkt per Definition das neutrale Element in G.(a) Zeigen Sie, dass hAi eine Untergruppe von G ist.
Solution
Um zu zeigen, dass eine Untergruppe von ist, überprüfen wir die drei Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit eine Untergruppe ist:
- Das neutrale Element von liegt in .
- Für alle gilt: (Abgeschlossenheit).
- Für alle gilt: (Existenz von Inversen).
1. Das neutrale Element liegt in :
Gemäß der Definition von ist die Menge aller Produkte der Form , wobei oder , und für ist das Produkt per Definition das neutrale Element von .
Daher ist .
2. Abgeschlossenheit:
Seien . Das bedeutet, dass und jeweils Produkte der Form sind, wobei oder , und ebenso oder .
Das Produkt hat dann die Form:
Da ein Produkt von Elementen aus ist, folgt, dass . Damit ist abgeschlossen unter der Verknüpfung .
3. Existenz von Inversen:
Sei . Dann ist ein Produkt der Form wobei oder .
Das Inverse von ist Da in einer Gruppe das Inverse eines Produkts die umgekehrte Reihenfolge der Inversen der Faktoren ist, gilt: Da oder , folgt . Somit ist ebenfalls ein Produkt von Elementen aus , und daher liegt .
Schlussfolgerung:
Da das neutrale Element enthält, abgeschlossen ist und Inverse für alle Elemente enthält, ist eine Untergruppe von .
Zusätzliche Fragen und Tipps:
- Was ist eine Untergruppe, und warum sind die drei Bedingungen notwendig und hinreichend?
- Wie beeinflusst die Struktur von die Struktur von ?
- Können wir auch als die kleinste Untergruppe von betrachten, die enthält? Warum?
- Welche Eigenschaften von (z. B. Abelsche Gruppe) könnten zusätzliche Vereinfachungen ermöglichen?
- Wie kann der Beweis in konkreten Gruppen, wie , interpretiert werden?
Tipp: Denken Sie daran, dass auch als von erzeugte Untergruppe bezeichnet wird und oft durch die Notation dargestellt wird.
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Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Group Theory
Subgroups
Set Theory
Formulas
hA = {a1 * a2 * ... * an | ai ∈ A ∨ ai⁻¹ ∈ A}
Theorems
Subgroup Criterion: closure, identity, inverses
Suitable Grade Level
Advanced Undergraduate (Mathematics)