Math Problem Statement

Sei (G, ∗) eine Gruppe und A ⊂ G eine Teilmenge. Betrachten Sie die TeilmengehAi = {a1 ∗ a2 ∗ · · · ∗ an|n ∈ N, ∀i : ai ∈ A ∨ ai −1∈ A} ⊂ G.Für n = 0 ist das „leere“ Produkt per Definition das neutrale Element in G.(a) Zeigen Sie, dass hAi eine Untergruppe von G ist.

Solution

Um zu zeigen, dass hAhA eine Untergruppe von GG ist, überprüfen wir die drei Bedingungen, die erfüllt sein müssen, damit hAhA eine Untergruppe ist:

  1. Das neutrale Element ee von GG liegt in hAhA.
  2. Für alle x,yhAx, y \in hA gilt: xyhAx \ast y \in hA (Abgeschlossenheit).
  3. Für alle xhAx \in hA gilt: x1hAx^{-1} \in hA (Existenz von Inversen).

1. Das neutrale Element ee liegt in hAhA:

Gemäß der Definition von hAhA ist hAhA die Menge aller Produkte der Form a1a2ana_1 \ast a_2 \ast \cdots \ast a_n, wobei aiAa_i \in A oder ai1Aa_i^{-1} \in A, und für n=0n = 0 ist das Produkt per Definition das neutrale Element ee von GG.

Daher ist ehAe \in hA.


2. Abgeschlossenheit:

Seien x,yhAx, y \in hA. Das bedeutet, dass xx und yy jeweils Produkte der Form x=a1a2am,y=b1b2bnx = a_1 \ast a_2 \ast \cdots \ast a_m, \quad y = b_1 \ast b_2 \ast \cdots \ast b_n sind, wobei aiAa_i \in A oder ai1Aa_i^{-1} \in A, und ebenso bjAb_j \in A oder bj1Ab_j^{-1} \in A.

Das Produkt xyx \ast y hat dann die Form: xy=(a1a2am)(b1b2bn).x \ast y = (a_1 \ast a_2 \ast \cdots \ast a_m) \ast (b_1 \ast b_2 \ast \cdots \ast b_n).

Da xyx \ast y ein Produkt von Elementen aus AA1A \cup A^{-1} ist, folgt, dass xyhAx \ast y \in hA. Damit ist hAhA abgeschlossen unter der Verknüpfung \ast.


3. Existenz von Inversen:

Sei xhAx \in hA. Dann ist xx ein Produkt der Form x=a1a2an,x = a_1 \ast a_2 \ast \cdots \ast a_n, wobei aiAa_i \in A oder ai1Aa_i^{-1} \in A.

Das Inverse von xx ist x1=(a1a2an)1.x^{-1} = (a_1 \ast a_2 \ast \cdots \ast a_n)^{-1}. Da in einer Gruppe das Inverse eines Produkts die umgekehrte Reihenfolge der Inversen der Faktoren ist, gilt: x1=an1an11a11.x^{-1} = a_n^{-1} \ast a_{n-1}^{-1} \ast \cdots \ast a_1^{-1}. Da aiAa_i \in A oder ai1Aa_i^{-1} \in A, folgt ai1AA1a_i^{-1} \in A \cup A^{-1}. Somit ist x1x^{-1} ebenfalls ein Produkt von Elementen aus AA1A \cup A^{-1}, und daher liegt x1hAx^{-1} \in hA.


Schlussfolgerung:

Da hAhA das neutrale Element ee enthält, abgeschlossen ist und Inverse für alle Elemente enthält, ist hAhA eine Untergruppe von GG. \Box


Zusätzliche Fragen und Tipps:

  1. Was ist eine Untergruppe, und warum sind die drei Bedingungen notwendig und hinreichend?
  2. Wie beeinflusst die Struktur von AA die Struktur von hAhA?
  3. Können wir hAhA auch als die kleinste Untergruppe von GG betrachten, die AA enthält? Warum?
  4. Welche Eigenschaften von GG (z. B. Abelsche Gruppe) könnten zusätzliche Vereinfachungen ermöglichen?
  5. Wie kann der Beweis in konkreten Gruppen, wie (Z,+)(\mathbb{Z}, +), interpretiert werden?

Tipp: Denken Sie daran, dass hAhA auch als von AA erzeugte Untergruppe bezeichnet wird und oft durch die Notation A\langle A \rangle dargestellt wird.

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Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Group Theory
Subgroups
Set Theory

Formulas

hA = {a1 * a2 * ... * an | ai ∈ A ∨ ai⁻¹ ∈ A}

Theorems

Subgroup Criterion: closure, identity, inverses

Suitable Grade Level

Advanced Undergraduate (Mathematics)