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Puedes resolver este problema matematico siguiendo las instrucciones de la imagen. gracias!

Para resolver el problema y estudiar la continuidad de la función \( f(x) \), definida por partes, debemos asegurarnos de que los límites laterales en los puntos \( x = 1 \) y \( x = 2 \) coincidan con los valores de la función en esos puntos. La función dada es:

\[
f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 + 3x - 4}{x^3 - x^2 + x - 1} & \text{si } x < 1 \\
ax + b & \text{si } 1 \leq x < 2 \\
\frac{|x-3|}{x+1} & \text{si } 2 \leq x
\end{cases}
\]

### Paso 1: Estudiar la continuidad en \( x = 1 \)

1. **Límite cuando \( x \to 1^- \):**
   \[
   \lim_{x \to 1^-} \frac{x^2 + 3x - 4}{x^3 - x^2 + x - 1}
   \]
   Primero factorizamos el numerador y el denominador:
   \[
   x^2 + 3x - 4 = (x + 4)(x - 1)
   \]
   \[
   x^3 - x^2 + x - 1 = (x - 1)(x^2 + 1)
   \]
   Entonces,
   \[
   \frac{x^2 + 3x - 4}{x^3 - x^2 + x - 1} = \frac{(x + 4)(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + 1)}
   \]
   Cancelamos \( x - 1 \):
   \[
   \frac{(x + 4)(x - 1)}{(x - 1)(x^2 + 1)} = \frac{x + 4}{x^2 + 1}
   \]
   Evaluamos el límite:
   \[
   \lim_{x \to 1^-} \frac{x + 4}{x^2 + 1} = \frac{1 + 4}{1^2 + 1} = \frac{5}{2}
   \]

2. **Límite cuando \( x \to 1^+ \):**
   \[
   \lim_{x \to 1^+} (ax + b)
   \]
   Evaluamos el límite directamente:
   \[
   \lim_{x \to 1^+} (ax + b) = a(1) + b = a + b
   \]

Para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 1 \), debe cumplirse:
   \[
   \frac{5}{2} = a + b
   \]

### Paso 2: Estudiar la continuidad en \( x = 2 \)

1. **Límite cuando \( x \to 2^- \):**
   \[
   \lim_{x \to 2^-} (ax + b)
   \]
   Evaluamos el límite directamente:
   \[
   \lim_{x \to 2^-} (ax + b) = a(2) + b = 2a + b
   \]

2. **Límite cuando \( x \to 2^+ \):**
   \[
   \lim_{x \to 2^+} \frac{|x-3|}{x+1}
   \]
   Evaluamos el límite directamente:
   \[
   \lim_{x \to 2^+} \frac{|x-3|}{x+1} = \frac{|2-3|}{2+1} = \frac{1}{3}
   \]

Para que \( f(x) \) sea continua en \( x = 2 \), debe cumplirse:
   \[
   2a + b = \frac{1}{3}
   \]

### Resolviendo el sistema de ecuaciones

Tenemos el sistema:
1. \( a + b = \frac{5}{2} \)
2. \( 2a + b = \frac{1}{3} \)

Restamos las dos ecuaciones para encontrar \( a \):
   \[
   (2a + b) - (a + b) = \frac{1}{3} - \frac{5}{2}
   \]
   \[
   a = \frac{1}{3} - \frac{5}{2}
   \]
   \[
   a = \frac{2}{6} - \frac{15}{6} = -\frac{13}{6}
   \]

Sustituimos \( a \) en la primera ecuación:
   \[
   -\frac{13}{6} + b = \frac{5}{2}
   \]
   \[
   b = \frac{5}{2} + \frac{13}{6} = \frac{15}{6} + \frac{13}{6} = \frac{28}{6} = \frac{14}{3}
   \]

Por lo tanto, los valores de \( a \) y \( b \) que hacen que la función sea continua en todo su dominio son:
   \[
   a = -\frac{13}{6}, \quad b = \frac{14}{3}
   \]

¿Deseas más detalles o tienes alguna pregunta sobre este problema?

---

Aquí hay 5 preguntas que puedes hacer:
1. ¿Cómo se determinan los límites laterales para funciones definidas por partes?
2. ¿Qué métodos se utilizan para factorizar polinomios?
3. ¿Qué significa que una función sea continua en un punto?
4. ¿Cómo resolver sistemas de ecuaciones lineales?
5. ¿Cuál es la importancia de la continuidad en las funciones matemáticas?

**Tip:** Para estudiar la continuidad en funciones definidas por partes, asegúrate de revisar tanto los límites laterales como el valor de la función en los puntos críticos.

Explore the continuity of a piecewise function involving limits and a system of equations. This problem requires evaluating limits and solving a system of linear equations to determine parameters ensuring function continuity. Suitable for university-level students.

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