9. Diberikan fungsi f(x) =



x + 1 jika x < 1,
ax + b jika 1 ≤ x < 2,
3x jika x ≥ 2.
Tentukan nilai a dan b agar funsi f(x) kontinu dimana-mana.

Diberikan fungsi \( f(x) \) yang berbentuk sebagai fungsi potongan (piecewise function):

\[
f(x) =
\begin{cases} 
x + 1 & \text{jika} \ x < 1, \\
ax + b & \text{jika} \ 1 \leq x < 2, \\
3x & \text{jika} \ x \geq 2.
\end{cases}
\]

Agar fungsi \( f(x) \) kontinu di seluruh titik, fungsi harus kontinu di titik \( x = 1 \) dan \( x = 2 \).

### 1. Kondisi pada \( x = 1 \)
Agar fungsi kontinu di \( x = 1 \), limit dari \( f(x) \) ketika \( x \to 1^- \) (dari kiri) harus sama dengan limit \( f(x) \) ketika \( x \to 1^+ \) (dari kanan), dan sama dengan nilai fungsi di \( x = 1 \).

- Dari kiri (untuk \( x < 1 \)), kita gunakan ekspresi \( f(x) = x + 1 \):
  \[
  \lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2.
  \]

- Dari kanan (untuk \( x \geq 1 \)), kita gunakan ekspresi \( f(x) = ax + b \):
  \[
  \lim_{x \to 1^+} f(x) = a(1) + b = a + b.
  \]

Agar fungsi kontinu di \( x = 1 \), kita harus memiliki:
\[
a + b = 2. \tag{1}
\]

### 2. Kondisi pada \( x = 2 \)
Agar fungsi kontinu di \( x = 2 \), limit dari \( f(x) \) ketika \( x \to 2^- \) (dari kiri) harus sama dengan limit \( f(x) \) ketika \( x \to 2^+ \) (dari kanan), dan sama dengan nilai fungsi di \( x = 2 \).

- Dari kiri (untuk \( x < 2 \)), kita gunakan ekspresi \( f(x) = ax + b \):
  \[
  \lim_{x \to 2^-} f(x) = a(2) + b = 2a + b.
  \]

- Dari kanan (untuk \( x \geq 2 \)), kita gunakan ekspresi \( f(x) = 3x \):
  \[
  \lim_{x \to 2^+} f(x) = 3(2) = 6.
  \]

Agar fungsi kontinu di \( x = 2 \), kita harus memiliki:
\[
2a + b = 6. \tag{2}
\]

### 3. Menyelesaikan sistem persamaan
Dari persamaan (1) dan (2), kita memiliki sistem persamaan:
\[
\begin{aligned}
a + b &= 2, \\
2a + b &= 6.
\end{aligned}
\]

Untuk menyelesaikannya, kita dapat mengeliminasi \( b \). Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua:
\[
(2a + b) - (a + b) = 6 - 2,
\]
\[
a = 4.
\]

Substitusikan nilai \( a = 4 \) ke persamaan (1):
\[
4 + b = 2,
\]
\[
b = 2 - 4 = -2.
\]

### 4. Kesimpulan
Nilai \( a = 4 \) dan \( b = -2 \) agar fungsi \( f(x) \) kontinu di seluruh titik.

Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain?

Berikut adalah 5 pertanyaan terkait:
1. Apa perbedaan antara fungsi kontinu dan fungsi diskontinu?
2. Bagaimana cara memeriksa kekontinuan suatu fungsi secara umum?
3. Apa pengertian limit dalam kalkulus dan bagaimana hubungannya dengan kekontinuan?
4. Bagaimana kekontinuan di titik sudut atau pada fungsi piecewise?
5. Dapatkah sebuah fungsi tidak kontinu tetapi memiliki limit di suatu titik?

**Tip**: Untuk memeriksa kekontinuan pada titik-titik yang berpotensi diskontinu, pastikan nilai limit kiri dan kanan sama serta sesuai dengan nilai fungsi di titik tersebut.

Diberikan fungsi f(x) =



x + 1 jika x < 1,
ax + b jika 1 ≤ x < 2,
3x jika x ≥ 2.
Tentukan nilai a dan b agar fungsi f(x) kontinu dimana-mana.

Discover how to find the values of a and b that ensure the piecewise function f(x) is continuous everywhere. This problem involves analyzing limits at the points x = 1 and x = 2, applying continuity conditions, and solving a system of linear equations. Suitable for undergraduate calculus students.

Math Problem Statement

Solution

Ask a new question for Free

By Image

Math Problem Analysis

Mathematical Concepts

Formulas

Theorems

Suitable Grade Level

Related Recommendation