Math Problem Statement
- Diberikan fungsi f(x) = x + 1 jika x < 1, ax + b jika 1 ≤ x < 2, 3x jika x ≥ 2. Tentukan nilai a dan b agar funsi f(x) kontinu dimana-mana.
Solution
Diberikan fungsi yang berbentuk sebagai fungsi potongan (piecewise function):
\begin{cases} x + 1 & \text{jika} \ x < 1, \\ ax + b & \text{jika} \ 1 \leq x < 2, \\ 3x & \text{jika} \ x \geq 2. \end{cases}$$ Agar fungsi $$f(x)$$ kontinu di seluruh titik, fungsi harus kontinu di titik $$x = 1$$ dan $$x = 2$$. ### 1. Kondisi pada $$x = 1$$ Agar fungsi kontinu di $$x = 1$$, limit dari $$f(x)$$ ketika $$x \to 1^-$$ (dari kiri) harus sama dengan limit $$f(x)$$ ketika $$x \to 1^+$$ (dari kanan), dan sama dengan nilai fungsi di $$x = 1$$. - Dari kiri (untuk $$x < 1$$), kita gunakan ekspresi $$f(x) = x + 1$$: $$\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1 + 1 = 2.$$ - Dari kanan (untuk $$x \geq 1$$), kita gunakan ekspresi $$f(x) = ax + b$$: $$\lim_{x \to 1^+} f(x) = a(1) + b = a + b.$$ Agar fungsi kontinu di $$x = 1$$, kita harus memiliki: $$a + b = 2. \tag{1}$$ ### 2. Kondisi pada $$x = 2$$ Agar fungsi kontinu di $$x = 2$$, limit dari $$f(x)$$ ketika $$x \to 2^-$$ (dari kiri) harus sama dengan limit $$f(x)$$ ketika $$x \to 2^+$$ (dari kanan), dan sama dengan nilai fungsi di $$x = 2$$. - Dari kiri (untuk $$x < 2$$), kita gunakan ekspresi $$f(x) = ax + b$$: $$\lim_{x \to 2^-} f(x) = a(2) + b = 2a + b.$$ - Dari kanan (untuk $$x \geq 2$$), kita gunakan ekspresi $$f(x) = 3x$$: $$\lim_{x \to 2^+} f(x) = 3(2) = 6.$$ Agar fungsi kontinu di $$x = 2$$, kita harus memiliki: $$2a + b = 6. \tag{2}$$ ### 3. Menyelesaikan sistem persamaan Dari persamaan (1) dan (2), kita memiliki sistem persamaan: $$\begin{aligned} a + b &= 2, \\ 2a + b &= 6. \end{aligned}$$ Untuk menyelesaikannya, kita dapat mengeliminasi $$b$$. Kurangi persamaan pertama dari persamaan kedua: $$(2a + b) - (a + b) = 6 - 2,$$ $$a = 4.$$ Substitusikan nilai $$a = 4$$ ke persamaan (1): $$4 + b = 2,$$ $$b = 2 - 4 = -2.$$ ### 4. Kesimpulan Nilai $$a = 4$$ dan $$b = -2$$ agar fungsi $$f(x)$$ kontinu di seluruh titik. Apakah Anda ingin penjelasan lebih lanjut atau memiliki pertanyaan lain? Berikut adalah 5 pertanyaan terkait: 1. Apa perbedaan antara fungsi kontinu dan fungsi diskontinu? 2. Bagaimana cara memeriksa kekontinuan suatu fungsi secara umum? 3. Apa pengertian limit dalam kalkulus dan bagaimana hubungannya dengan kekontinuan? 4. Bagaimana kekontinuan di titik sudut atau pada fungsi piecewise? 5. Dapatkah sebuah fungsi tidak kontinu tetapi memiliki limit di suatu titik? **Tip**: Untuk memeriksa kekontinuan pada titik-titik yang berpotensi diskontinu, pastikan nilai limit kiri dan kanan sama serta sesuai dengan nilai fungsi di titik tersebut.Ask a new question for Free
By Image
Drop file here or Click Here to upload
Math Problem Analysis
Mathematical Concepts
Continuity
Piecewise Functions
Limits
Formulas
f(x) = x + 1 for x < 1
f(x) = ax + b for 1 ≤ x < 2
f(x) = 3x for x ≥ 2
Continuity condition: limit from the left = limit from the right = value at the point
Theorems
Continuity Theorem
Limit Theorem
Suitable Grade Level
Undergraduate Calculus
Related Recommendation
Ensuring Continuity for a Piecewise Function at x = -2 and x = 1
Determine Continuity of Piecewise Function at x = 1
Find values of a and b for continuity of piecewise function at x = 1
Find values of a and b for continuity in a piecewise function
Find Values of a and b for Continuity in Piecewise Function