Чтобы найти стационарные точки функции двух переменных $z = y \sqrt{1 + x} + x \sqrt{1 + y}$, необходимо вычислить частные производные функции по каждой переменной и приравнять их к нулю.

Шаг 1: Найти частные производные

Пусть функция $z(x, y) = y \sqrt{1 + x} + x \sqrt{1 + y}$. Тогда частные производные по $x$ и $y$ будут:

1. Частная производная по $x$:

$\frac{\partial z}{\partial x} = y \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + x}} \cdot 1 + \sqrt{1 + y} = \frac{y}{2\sqrt{1 + x}} + \sqrt{1 + y}$

2. Частная производная по $y$:

$\frac{\partial z}{\partial y} = x \cdot \frac{1}{2\sqrt{1 + y}} \cdot 1 + \sqrt{1 + x} = \frac{x}{2\sqrt{1 + y}} + \sqrt{1 + x}$

Шаг 2: Приравнять частные производные к нулю

Стационарные точки достигаются, когда обе частные производные равны нулю:

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y}{2\sqrt{1 + x}} + \sqrt{1 + y} = 0$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{2\sqrt{1 + y}} + \sqrt{1 + x} = 0$

Шаг 3: Решить систему уравнений

Теперь решим систему уравнений для $x$ и $y$:

1. Из первого уравнения:

$\sqrt{1 + y} = -\frac{y}{2\sqrt{1 + x}}$

Так как $\sqrt{1 + y} \geq 0$, правая часть тоже должна быть неотрицательной, что возможно только если $y = 0$. Подставим $y = 0$ в уравнение:

$\sqrt{1 + y} = \sqrt{1} = 1$

2. Подставим $y = 0$ во второе уравнение:

$\frac{x}{2\sqrt{1 + 0}} + \sqrt{1 + 0} = 0 \implies \frac{x}{2} + 1 = 0 \implies x = -2$

Мы нашли стационарную точку $(x, y) = (-2, 0)$. Однако, значения $x = -2$ не принадлежат области определения функции $z(x, y)$, так как подкоренное выражение $1 + x$ должно быть неотрицательным.

Вывод

Таким образом, функция $z = y \sqrt{1 + x} + x \sqrt{1 + y}$ не имеет стационарных точек в допустимой области определения.

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение, пожалуйста, дайте знать!

Вопросы для расширения понимания:

1. Что такое стационарная точка и как она интерпретируется в многомерных функциях?
2. Какие условия необходимо проверить, чтобы определить тип стационарной точки (минимум, максимум, седловая точка)?
3. Как определить область определения функции двух переменных?
4. Какие методы используются для нахождения экстремумов функций в более высоких измерениях?
5. Как применяются градиенты и якобианы в анализе функций нескольких переменных?

Советы:

При работе с функциями нескольких переменных всегда определяйте область определения и учитывайте допустимые значения, чтобы избежать ошибок при нахождении стационарных точек.