≦θ≦180°とする。 tanθ＝−2のとき、1/1−sinθ+1/1+sinθの値を求めよ。

与えられた条件を使って問題を解いていきましょう。

### Step 1: 知っていることを整理する
角度 \(\theta\) が \(-\infty \leq \theta \leq 180^\circ\) の範囲にあるとし、\(\tan \theta = -2\) です。

\(\tan \theta = -2\) ということは、\(\sin \theta\) と \(\cos \theta\) の比が \(-2\) であることを意味します。つまり、\(\sin \theta = -2 \cos \theta\) です。

### Step 2: 単位円を用いた三角関数の関係式
三角関数の基本的な関係式を使って考えます。
\[
\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]
したがって、
\[
(-2 \cos \theta)^2 + \cos^2 \theta = 1
\]
これを解くと、
\[
4 \cos^2 \theta + \cos^2 \theta = 1
\]
\[
5 \cos^2 \theta = 1
\]
\[
\cos^2 \theta = \frac{1}{5}
\]
\[
\cos \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{5}}
\]

次に、\(\sin \theta = -2 \cos \theta\) を使って \(\sin \theta\) を求めます。
\[
\sin \theta = -2 \times \frac{1}{\sqrt{5}} = -\frac{2}{\sqrt{5}}
\]
または、
\[
\sin \theta = -2 \times \left(-\frac{1}{\sqrt{5}}\right) = \frac{2}{\sqrt{5}}
\]

### Step 3: 条件に合った解を選ぶ
角度 \(\theta\) が第2象限にある場合（90° < \(\theta\) ≦ 180°）、\(\sin \theta\) は正で、\(\cos \theta\) は負でなければなりません。したがって、正しい組み合わせは次の通りです。
\[
\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}, \quad \cos \theta = -\frac{1}{\sqrt{5}}
\]

### Step 4: 求めたい式の値を計算
次に、与えられた式 \(\frac{1}{1 - \sin \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta}\) を計算します。
\[
\frac{1}{1 - \sin \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta} = \frac{(1 + \sin \theta) + (1 - \sin \theta)}{(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta)}
\]

分子は
\[
(1 + \sin \theta) + (1 - \sin \theta) = 2
\]
分母は
\[
(1 - \sin \theta)(1 + \sin \theta) = 1 - \sin^2 \theta
\]

\(\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}\) なので、\(\sin^2 \theta = \frac{4}{5}\) です。したがって、
\[
1 - \sin^2 \theta = 1 - \frac{4}{5} = \frac{1}{5}
\]

### Step 5: 式の最終的な値
\[
\frac{1}{1 - \sin \theta} + \frac{1}{1 + \sin \theta} = \frac{2}{\frac{1}{5}} = 2 \times 5 = 10
\]

したがって、求める値は **10** です。

---

ご質問や詳細な説明が必要ですか？他にも気になる問題があればお知らせください。

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5. 特定の範囲での三角関数の値の変化を視覚化する方法は？

### Tip
三角関数の問題を解く際には、範囲や符号に注意することが重要です。象限に基づいて関数の正負が決まります。

Learn how to solve a trigonometric expression when tan(θ) = -2, using identities and unit circle principles. This detailed step-by-step solution explains how to find the value of 1/(1−sinθ) + 1/(1+sinθ) for angles in the second quadrant (90° < θ ≤ 180°). Suitable for students in Grades 10-12.

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